《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题4.6 指数函数与对数函数（能力提升卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 4.6 指数函数与对数函数（能力提升卷）
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 22 题，单选 8题，多选 4题，填空 4题，解答 6题，满分 150 分，限时 150 分钟，试卷紧扣教材，
细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一．选择题（共 8小题，满分 40 分，每小题 5分）
1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数
f
(
x
)
=loga
(
x −b
)
（
a>0
且
a ≠ 1
，
a
，
b
为常数）的图象如图，则
下列结论正确的是（）
A．
a>0
，
b<−1
B．
，
−1<b<0
C．
0<a<1
，
b<−1
D．
0<a<1
，
−1<b<0
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数
f
(
x
)
=loga
(
x −b
)
为减函数，所以
0<a<1
又因为函数图象与
x
轴的交点在正半轴，所以
x=1+b>0
，即
b>−1
又因为函数图象与
y
轴有交点，所以
b<0
，所以
−1<b<0
，
故选：D
2．（2021·全国·高一课时练习）已知
a=ln 1
3
，
b=30.3
，
c=1o g54
，则
a , b , c
的大小关系是（　　）
A．
a<b<c
B．
b<a<c
C．
a<c<b
D．
c<a<b
【答案】C
【解析】分别将
a , b , c
与
0,1
比较大小，从而得到
a , b , c
的大小关系.
【详解】因为
a=ln 1
3<ln1=0
，
b=30.3>30=1
，
0=log51<c=1o g54<log55=1
，所以可知
b>c>a
故选：C
3．（2020·北京·高考真题）已知函数
f(x)=2x− x− 1
，则不等式
f(x)>0
的解集是（）．
A．
(−1,1)
B．
(− ∞ , −1)∪(1,+∞)
C．
(0,1)
D．
(− ∞ , 0)∪(1,+∞)
【答案】D
【分析】作出函数
y=2x
和
y=x+1
的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为
f
(
x
)
=2x− x −1
，所以
f
(
x
)
>0
等价于
2x>x+1
，
在同一直角坐标系中作出
y=2x
和
y=x+1
的图象如图：
两函数图象的交点坐标为
(0,1),(1,2)
，
不等式
2x>x+1
的解为
x<0
或
x>1
.
所以不等式
f
(
x
)
>0
的解集为：
(
− ∞ , 0
)
∪
(
1,+∞
)
.
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
4．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知
4a=8
，
2m=9n=6
，且
1
m+1
2n=b
，则
a+b=¿
（）
A．
5
2
B．
1
8
C．
1
16
D．2
【答案】A
【分析】运用对数运算性质及换底公式即可获解.
【详解】
4a=8
，
2m=9n=6
，
∴a=log48=lg8
lg4 =3
2
，
∴m=log26
，
n=log96
，
∴
1
m=log62
，
1
n=log69
∴b=log62+1
2log69=1
∴a+b=5
2
故选：A
5．（2020·全国·高考真题（文））Logisc 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据
公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t的单位：天)的Logisc 模型：
I(t)=K
1+e−0.23(t − 53)
，
其中 K为最大确诊病例数．当 I(
t∗
)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则
t∗
约为（）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【分析】将
t=t∗
代入函数
I
(
t
)
=K
1+e−0.23
(
t −53
)
结合
I
(
t∗
)
=0.95 K
求得
t∗
即可得解.
【详解】
∵I
(
t
)
=K
1+e−0.23
(
t − 53
)
，所以
I
(
t∗
)
=K
1+e−0.23
(
t∗−53
)
=0.95 K
，则
e0.23
(
t∗−53
)
=19
，
所以，
0.23
(
t∗−53
)
=ln 19 ≈3
，解得
t∗≈3
0.23 +53 ≈66
.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
6．（2022·全国·高三专题练习）若
a=log23
，
b=log34
，
c=log45
，则
a
、
b
、
c
的大小关系是（）
A．
a<b<c
B．
b<c<a
C．
b<a<c
D．
c<b<a
【答案】D
【解析】根据对数函数的性质可得
a>1, b>1
，
c>1
，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调
性，可比较出
a , c
的大小关系，
a , b
分别与中间值
3
2
比较，得出
a>3
2>b>1
，
b , c
分别与中间值
5
4
比较，得
出
b>5
4>c
，综合即可选出答案.
【详解】解：由题意，
log23>log22=1
，
log34>log33=1
，
log45>log44=1
，
即
a>1, b>1
，
c>1
，
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