《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题4.4 对数函数（5类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 4.4 对数函数
【考点 1：对数函数的概念】................................................................................................................................. 1
【考点 2：对数函数的图象】................................................................................................................................. 2
【考点 3：对数函数的定义域与值域】................................................................................................................. 8
【考点 4：对数函数的单调性与最值】............................................................................................................... 11
【考点 5：对数函数的应用】............................................................................................................................... 19
【考点 1：对数函数的概念】
【知识点：对数函数的概念】
形如 y＝logax（a>0 且
a ≠ 1
）的函数为对数函数.
1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（）
A．
y=loga(2x)
B．
y=lg 10x
C．
y=loga(x2+x)
D．
y=ln x
【答案】D
【分析】根据对数函数的概念即得.
【详解】因为函数
y=logax
(
a>0
且
)为对数函数，
所以 ABC 均为对数型复合函数，而 D是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是( )
A．
y=log2x
B．
y=ln(x+1)
C．
y=logxe
D．
y=logxx
【答案】A
【详解】对数函数
y=logax
（
a>0
且
a ≠ 1
），其中
a
为常数，
x
为自变量．
对于选项 A，符合对数函数定义；
对于选项 B，真数部分是
x+1
，不是自变量
x
，故它不是对数函数；
对于选项 C，底数是变量
x
，不是常数，故它不是对数函数；
对于选项 D，底数是变量
x
，不是常数，故它不是对数函数．
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数
f
(
x
)
=log2
(
x+a
)
的图象过点
(
−2,0
)
，则
a=¿
（）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】A
【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.
【详解】解：由已知得
f
(
−2
)
=log2
(
−2+a
)
=0
，所以
−2+a=1
，解得：
a=3
，
故选：A．
4．（2022·全国·高一课时练习）已知
f
(
x
)
为对数函数，
f
(
1
2
)
=−2
，则
f
(
❑
√
2
)
=¿
______．
【答案】1
【分析】根据
f
(
1
2
)
=2
，求得对数函数解析式，再将
x=❑
√
2
代入计算即可.
【详解】设
f
(
x
)
=logax
（
a>0
，且
a ≠ 1
），则
loga
1
2=−2
，∴
1
a2=1
2
，即
a=❑
√
2
，
∴
f
(
x
)
=log❑
√
2x
，
∴
f
(
❑
√
2
)
=log❑
√
2
❑
√
2=1
．
故答案为：1.
5．（2022·北京市第十三中学高三开学考试）已知函数
f
(
x
)
=logax
，且
f
(
2
)
=1
2
.则
a=¿
___________；
f
(
1
2
)
+f
(
2
3
)
+f
(
3
4
)
=¿
___________.
【答案】jjjj
4
jjjj
−1
【分析】由
f
(
2
)
=1
2
，得到
loga2=1
2
，求得
a=4
，结合对数的运算法则，即可求解.
【详解】由题意，函数
f
(
x
)
=logax
，因为
f
(
2
)
=1
2
，即
loga2=1
2
，解得
a=4
，
所以
f
(
x
)
=log4x
，
则
f
(
1
2
)
+f
(
2
3
)
+f
(
3
4
)
=log4
1
2+log4
2
3+log4
3
4=log4(1
2×2
3×3
4)=log4
1
4=−1
.
故答案为：
4
；
−1
.
【考点 2：对数函数的图象】
【知识点：对数函数的图象】
1．对数函数的图象
函数 y＝logax，a>1 y＝logax,0<a<1
图象
图象特征
在y轴右侧，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是上升的 当x逐渐增大时，图象是下降
的
2.底数的大小决定了图象相对位置的高低
不论是 a＞1还是 0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，
0<c<d<1<a<b.
在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；
在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
(无论在 x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)
3．指数函数与对数函数的关系
指数函数 y＝ax(a>0 且a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0 且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝ x
对称．
1．（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数
y=logax
，
y=logbx
，
y=logcx
，
y=logdx
的图象，则 a，b，c，d，1的大小关系为（）
A．b>a>1>c>dB．a>b>1>c>dC．b>a>1>d>cD．a>b>1>d>c
【答案】C
【分析】根据对数函数的图象性质即可求解.
【详解】由图可知 a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点
(
0，1
)
作平行于 x轴的直线，则直线与四条曲线交点的
横坐标从左到右依次为 c，d，a，b，显然 b>a>1>d>c．
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