《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题4.3 对数（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 4.3 对数
【考点 1：对数的概念判断与求值】..................................................................................................................... 1
【考点 2：指数式与对数式的互化】..................................................................................................................... 3
【考点 3：对数的运算性质】................................................................................................................................. 5
【考点 4：换底公式及其应用】........................................................................................................................... 10
【考点 1：对数的概念判断与求值】
【知识点：对数的概念】
如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x＝logaN，其中 a叫做对数的底数，
N叫做真数，logaN叫做对数式.
1．（2022·全国·高一课时练习）（1）对数的概念
一般地，如果
ax=N
（
a>0
，且
a ≠ 1
），那么数 x叫做以 a为底 N的对数，记作
x=¿
___________，其中 a
叫做对数的___________，N叫做___________．
（2）对数的基本性质
①当
a>0
，且
a ≠ 1
时，
ax=N⇔
___________．
②负数和 0没有对数．
③特殊值：1的对数是___________，即
___________（
a>0
，且
a ≠ 1
）；底数的对数是 1，即
logaa=1
（
a>0
，且
a ≠ 1
）．
（3）常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 以_________为底的对数叫做常用对数 ______
自然对数
以无理数
e=2.71828 ⋅⋅⋅
为底的对数称为自然
对数
______
【答案】NNNN
logaN
NNNN 底数NNNN 真数NNNN
x=logaN
NNNN 0010
lg

ln
【解析】略
2．（2021·江苏省江阴市第一中学高一期中）使式子
log(3x −1)(3− x)
有意义的
x
的取值范围是（）
A．
x>3
B．
x<3
C．
1
3<x<3
D．
1
3<x<3
且
x ≠ 2
3
【答案】D
【分析】对数函数中，底数大于 0且不等于 1，真数大于 0，列出不等式，求出
x
的取值范围.
【详解】由题意得：
¿
，解得：
1
3<x<3
且
x ≠ 2
3
.
故选：D
3．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知对数式
log
(
a+1
)
2
4− a
有意义，则 a的取值范围为（）
A．
(
−1,4
)
B．
(
−1,0
)
∪
(
0,4
)
C．
(
−4,0
)
∪
(
0,1
)
D．
(
−4,1
)
【答案】B
【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得.
【详解】由
log
(
a+1
)
2
4− a
有意义可知
¿
，解得
−1<a<4
且
a ≠ 0
，
所以 a的取值范围为
(
−1,0
)
∪
(
0,4
)
.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
f
(
x
)
=¿
，则
f
[
f
(
1
2
)
]
的值为（）
A．
−1
B．
❑
√
3
3
C．
3
D．
❑
√
3
【答案】C
【分析】根据题中函数表达式代入求解即可.
【详解】因为
f
(
1
2
)
=log2
1
2=−1
，
所以
f
[
f
(
1
2
)
]
=f
(
−1
)
=3−
(
−1
)
=3
.
故选：C
5．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）有以下四个结论：①
lg
(
lg 10
)
=0
；②
ln
(
lg e
)
=0
；③ 若
10=lg x
，则
x=10
；④若
e=ln x
，则
x=e2
，其中正确的是（）
A．①② B．②④
C．①③ D．③④
【答案】A
【分析】根据对数的定义即可求得答案.
【详解】由对数定义可知，
lg
(
lg 10
)
=lg 1=0
，①正确；
ln
(
lne
)
=ln1=0
，②正确；
对③，
10=lg x ⇒x=1010
，错误；对④，
e=ln x⇒x=ee
，错误.
故选：A.
6．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习）(多选)下列说法正确的有（）
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以
10
为底的对数叫做常用对数
D．以
e
为底的对数叫做自然对数
【答案】ACD
【分析】根据对数的定义即可判断答案.
【详解】由对数的定义可知 A,C,D 正确；
对B，当
a>0
且
a ≠ 1
时，
ax=N
才能化为对数式.
故选：ACD.
7．（2021·全国·高一课时练习）若
log
(
1+k
)
(
1−k
)
有意义，则实数 k的取值范围是______.
【答案】
(
−1,0
)
∪
(
0,1
)
【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.
【详解】若
log
(
1+k
)
(
1−k
)
有意义，则满足
¿
，解得
k∈
(
−1,0
)
∪
(
0,1
)
.
故答案为：
(
−1,0
)
∪
(
0,1
)
8．（2021·全国·高一课前预习）求下列各式的值：
(1)
log525
；
(2)
log2
1
16
.
【答案】(1)
2
；(2)
−4
.
【分析】根据对数的定义及指对数式的互化即可求得答案.
(1)设
x=log525
，则
5x=25 ⇒5x=52⇒x=2
，即
log525=2
.
(2)设
x=log2
1
16
，则
2x=1
16 ⇒2x=2−4⇒x=−4
，即
log2
1
16 =−4
.
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