《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题3.4 函数的应用（一）（3类必考点）（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

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专题 3.4 函数的应用（一）
【考点 1：一次、二次、分式函数模型】............................................................................................................. 1
【考点 2：分段函数模型】.................................................................................................................................... 4
【考点 3：幂函数模型】........................................................................................................................................ 9
【考点 1：一次、二次、分式函数模型】
【知识点：一次、二次、分式函数模型】
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
分式函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且 k≠0)或y＝x＋(a>0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x（件）与单价 P（元）之间的关系为
P=160−2x
，生产 x件
所需成本为 C（元），其中
C=500+30 x
，若要求每天获利不少于 1300 元，则日销量 x的取值范围是
（）
A．
20 ≤ x ≤30
，
x∈N¿
B．
20 ≤ x ≤ 45
，
x∈N¿
C．
15 ≤ x ≤30
，
D．
15 ≤ x ≤ 45
，
x∈N¿
2．某单位计划建一矩形场地，现有总长度为 100 m 的可作为围墙的材料，则场地的面积 S(单位：m2)与场
地的长 x(单位：m)的函数关系式为____________．
3．某工厂生产某种产品的固定成本为 200 万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加 1万元，又知总
收入
R
是单位产量
Q
的函数：
R(Q)=4Q−1
200 Q2
，则总利润
L
(
Q
)
的最大值是______万元．（总利润＝总
收入－成本）
4．某商场销售 A型商品，已知该商品的进价是每件 3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元45678910
日均销售量/件400 360 320 280
24
0
200 160
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为__________
_______.
5．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投
资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1万元时，两类产品的收益分别为
0.125 万元和 0.5 万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.
(2)该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万
元？
6．随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相
关的就是水资源问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高.已知
该厂每月的污水处理量最少为 50 万吨，最多为 200 万吨，月处理成本
y
（万元）与月处理量
x
（万吨）之
间的函数关系可近似地表示为
y=1
200 x2-1
4x+50
，且每处理一万吨污水产生的收益为 1万元.
(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
(2)该厂每月能否获利？如果能获利，求出最大利润.
7．全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号．太原市某社区响应市委号召，
在全面开展“创城”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为
4000 m2
矩形休闲广场，要求既
要占地最少，又要美观实用．初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m 的草坪，南北边缘都留有5m
的空地栽植花木．
(1)设占用空地的面积为 S（单位：
m2
），矩形休闲广场东西距离为x（单位：m，
x>0
），试用x表示为 S
的函数；
(2)当x为多少时，占用空地的面积最少？并求最小值．
8．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒 1个单位的净化剂，空气中释放的浓
度
y¿
单位：毫克/立方米
¿
随着时间
x¿
单位：天
¿
变化的关系如下：当
0≤ x ≤ 4
时，
y=16
8−x−1
；当
4<x ≤ 10
时，
y=5−1
2x.
若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所
释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于
4¿
毫克/立方米
¿
时，它才能起到净化空气的作
用．
(1)若一次喷洒 4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒 2个单位的净化剂，6天后再喷洒
a(1≤ a ≤ 4)
个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够
持续有效净化，试求a的最小值．
¿
精确到
0.1
，参考数据：
❑
√
2
取
1.4 ¿
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