《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题3.4 函数的应用（一）（3类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

3.0 cande 2025-05-12 34 4 913.8KB 17 页 3知币
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专题 3.4 函数的应用（一）
【考点 1：一次、二次、分式函数模型】............................................................................................................. 1
【考点 2：分段函数模型】.................................................................................................................................... 6
【考点 3：幂函数模型】...................................................................................................................................... 14
【考点 1：一次、二次、分式函数模型】
【知识点：一次、二次、分式函数模型】
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
分式函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且 k≠0)或y＝x＋(a>0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x（件）与单价 P（元）之间的关系为
P=160−2x
，生产 x件
所需成本为 C（元），其中
C=500+30 x
，若要求每天获利不少于 1300 元，则日销量 x的取值范围是
（）
A．
20 ≤ x ≤30
，
x∈N¿
B．
20 ≤ x ≤ 45
，
x∈N¿
C．
15 ≤ x ≤30
，
D．
15 ≤ x ≤ 45
，
x∈N¿
【答案】B
【分析】由题意求得利润函数
y=−2x2+1300 x−500
，然后解不等式
y ≥1300
即可得．
【详解】由题意日销量 x件时，利润是
y=(160−2x)x−(500+30 x)=−2x2+130 x−500
，
−2x2+130 x−500 ≥1300
，
(x−20)(x−45)≤0
，
20 ≤ x ≤ 45
．
故选：B．
2．某单位计划建一矩形场地，现有总长度为 100 m 的可作为围墙的材料，则场地的面积 S(单位：m2)与场
地的长 x(单位：m)的函数关系式为____________．
【答案】
S=x(50−x)(0<x<50)
【分析】根据矩形的面积公式即可求解解析式，结合长度的要求即可得定义域.
【详解】由于场地的长为
xm
，则宽为
(50−x)m
，由题意得 S=
x(50−x)
．易知
x>0
，
50−x>0
，所以自
变量
x
的取值范围为
0<x<50
．故所求函数的关系式为
S=x(50−x)(0<x<50)
．
故答案为：
S=x(50−x)(0<x<50)
3．某工厂生产某种产品的固定成本为 200 万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加 1万元，又知总
收入
R
是单位产量
Q
的函数：
R(Q)=4Q−1
200 Q2
，则总利润
L
(
Q
)
的最大值是______万元．（总利润＝总
收入－成本）
【答案】250
【分析】由题意可得总利润
L
(
Q
)
=¿
总收入
R−¿
固定成本 200 万元
−¿
Q
万元，然后利用二次函数的性质
可求得其最大值.
【详解】根据题意得
L
(
Q
)
=4Q−1
200 Q2−(200+Q)= −1
200 Q2+3Q−200
¿−1
200 (Q−300)2+250
，
所以当
Q=300
时，总利润取得最大值 250 万元，
故答案为：250
4．某商场销售 A型商品，已知该商品的进价是每件 3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元45678910
日均销售量/件400 360 320 280
24
0
200 160
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为__________
_______.
【答案】8.5
【分析】根据题意找出利润与定价的函数关系，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】设定价为
x ,14 >x>3
元，利润为
y
元，
由题意可知：
y=(x−3)
[
400−40
(
x−4
)
]
=40(−x2+17 x−42)
，
故当
x=8.5
时，
y
最大，且最大值为 1210.
故答案为:8.5
5．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投
资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1万元时，两类产品的收益分别为
0.125 万元和 0.5 万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.
(2)该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万
元？
【答案】(1)
f
(
x
)
=1
8x
(
x≥ 0
)
，
g
(
x
)
=1
2
❑
√
x
(
x ≥ 0
)
；
(2)投资债券等稳健型产品 16 万元，投资股票等风险型产品为
4
万元时，收益最大为 3万元.
【分析】（1）设投资债券等稳健型产品收益为
f
(
x
)
=k1x
，投资股票等风险型产品收益为
g
(
x
)
=k2
❑
√
x
，
结合已知，应用待定系数法求参数，即可写出函数关系式；
（2）设投资债券等稳健型产品 x万元，则投资股票等风险型产品为
(20−x)
万元，可得收益函数为
y=f
(
x
)
+g
(
20−x
)
，应用换元法(注意定义域)及二次函数的性质求最大值即可.
（1）设投资 x万元时，投资债券等稳健型产品的收益为
f
(
x
)
=k1x
万元，投资股票等风险型产品的收益为
g
(
x
)
=k2
❑
√
x
万元，
由题意知：
f
(
1
)
=k1×1=0.125=1
8
，即
k1=1
8
；
g
(
1
)
=k2×❑
√
1=0.5=1
2
，即
k2=1
2
，
∴两类产品的收益与投资的函数关系式分别是：
f
(
x
)
=1
8x
(
x ≥ 0
)
，
g
(
x
)
=1
2
❑
√
x
(
x ≥ 0
)
；
（2）设投资债券等稳健型产品 x万元，则投资股票等风险型产品为
(20−x)
万元，
由题意，投资获得的收益
y=f
(
x
)
+g
(
20−x
)
¿x
8+1
2
❑
√
20−x
(
0≤ x ≤ 20
)
，
令
t=❑
√
20−x
，则
0≤ t ≤ 2❑
√
5
，
∴原问题为求
y=−1
8t2+1
2t+5
2(0≤t ≤2❑
√
5)
的最大值.
∵y=−1
8(t−2)2+3
(0≤t≤2❑
√
5)
，
∴当
t=2
，即
x=16
万元时收益最大，最大为 3万元.
故投资债券等稳健型产品 16 万元，投资股票等风险型产品为
4
万元时，收益最大为 3万元.
6．随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相
关的就是水资源问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高.已知
该厂每月的污水处理量最少为 50 万吨，最多为 200 万吨，月处理成本
y
（万元）与月处理量
x
（万吨）之
间的函数关系可近似地表示为
y=1
200 x2-1
4x+50
，且每处理一万吨污水产生的收益为 1万元.
(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
(2)该厂每月能否获利？如果能获利，求出最大利润.
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