《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题3.3 幂函数（5类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）
专题 3.3 幂函数
【考点 1：幂函数的解析式或函数值】................................................................................................................. 1
【考点 2：幂函数的定义域、值域】..................................................................................................................... 3
【考点 3：幂函数的图象】..................................................................................................................................... 6
【考点 4：幂函数的单调性】................................................................................................................................. 9
【考点 5：幂函数的奇偶性】............................................................................................................................... 13
【考点 1：幂函数的解析式或函数值】
【知识点：幂函数的概念】
形 如 y＝xα(a∈R)的 函 数 称 为 幂 函 数 ， 其 中 x是 自 变 量 ， a为 常 数 ． 对 于 幂 函 数 ， 只 讨 论 α＝
1，2，3，，－1时的情形．
1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知
f(x)
为幂函数， 且
f(8)= 1
4
， 则
f(4)=¿
（）
A．
1
2
B．
1
3
√
16
C．
1
3
√
4
D．
1
16
【答案】B
【分析】根据幂函数及
f(8)= 1
4
求其解析式，进而求
f(4)
.
【详解】因为
f(x)
为幂函数，
设
f(x)=xα
，则
f(8)= 1
4=8α=23α
，
所以
−2=3α
，可得
α=−2
3
，则
f(4)=4
−2
3=1
3
√
16
.
故选：B
2．（2022·全国·高一单元测试）若函数
f
(
x
)
=xα
的图象经过点
(
9,1
3
)
，则
f
(
1
9
)
=¿
（ ）
A．
1
3
B．3 C．9 D．8
【答案】B
【分析】将
(
9,1
3
)
代入函数解析式，即可求出
α
，即可得解函数解析式，再代入求值即可.
【详解】解：由题意知
f
(
9
)
=1
3
，所以
9α=1
3
，即
32α=3−1
，
所以
α=−1
2
，所以
f
(
x
)
=x
−1
2
，所以
f
(
1
9
)
=
(
1
9
)
−1
2=3
.
故选：B
3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）已知幂函数
f
(
x
)
的图象过点
(
2,1
4
)
，则
f
(
❑
√
7
)
=¿
___________.
【答案】
1
7
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解.
【详解】设
f(x)=xα
，
由
f
(
x
)
的图象过点
(
2,1
4
)
，可得
2α=1
4
，解得
α=−2
∴f
(
x
)
=x−2
，故
f
(
❑
√
7
)
=1
7
.
故答案为：
1
7
.
4．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数 y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂
函数的解析式为___________．
【答案】
y=x
1
2
【分析】设幂函数
y=f
(
x
)
=xa
，由幂函数的图象经过点
(
4,2
)
，知
4a=2
，由此能求出这个幂函数的解析式．
【详解】设幂函数
y=f
(
x
)
=xa
，
∵幂函数
y=f(x)
的图象经过点
(
4,2
)
，
∴
4a=2
，∴
a=1
2
，
∴这个幂函数的解析式为
y=x
1
2
．
故答案为：
y=x
1
2
．
5．（2021·上海市控江中学高一期中）已知
m
为常数，函数
y=(2m2+m−2)x2m+1
为幂函数，则
m
的值为_
_____;
【答案】
−3
2
或1
【分析】根据幂函数的定义可得
2m2+m−2=1
，解方程即可.
【详解】解：因为函数
y=(2m2+m−2)x2m+1
为幂函数，则
2m2+m−2=1
，
即
2m2+m−3=0
，解得
m=−3
2
或
m=1
.
故答案为：
−3
2
或1.
【考点 2：幂函数的定义域、值域】
【知识点：幂函数的定义域、值域】
函数性质 y＝x y＝x2y＝x3y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋
∞)
值域 R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋
∞)
1．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数
f
(
x
)
的图象过点
(
2,❑
√
2
)
，则
f
(
x
)
的定义域为（）
A．RB．
(
0,+∞
)
C．
[
0,+∞
)
D．
(
−∞, 0
)
∪
(
0,+∞
)
【答案】C
【分析】设
f
(
x
)
=xα
，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域.
【详解】设
f
(
x
)
=xα
，因为
f
(
x
)
的图象过点
(
2,❑
√
2
)
，
所以
2α=❑
√
2
，解得
α=1
2
，则
f
(
x
)
=❑
√
x
，
故
f
(
x
)
的定义域为
[
0+∞
)
．
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为
R
的是（）
A．
y=x−1
B．
y=x
−1
2
C．
y=x
1
3
D．
y=x
1
2
【答案】C
【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于 0才有意义，分式则必须
分母不为 0
【详解】对选项
A
，则有：
x ≠ 0
对选项
B
，则有：
x>0
对选项
C
，定义域为：
R
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