《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题3.2 函数的基本性质（6类必考点）（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

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专题 3.2 函数的基本性质
【考点 1：函数的单调性及单调区间】................................................................................................................. 1
【考点 2：已知函数的单调性求参或求自变量】.................................................................................................. 4
【考点 3：利用函数的单调性求最值】................................................................................................................. 7
【考点 4：判断或证明函数的奇偶性】................................................................................................................. 9
【考点 5：函数奇偶性的应用】........................................................................................................................... 12
【考点 6：函数单调性与奇偶性的综合应用】.................................................................................................... 15
【考点 1：函数的单调性及单调区间】
【知识点：函数的单调性及单调区间】
1、函数单调性的定义
增函数 减函数
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两
个自变量 x1，x2
当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说
函数 f(x)在区间 D上是增函数
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就
说函数 f(x)在区间 D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2．复合函数单调性的规律
若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们
的复合函数为减函数．即“同增异减”．
3．函数单调性的性质
(1)若f(x)，g(x)均为区间 A上的增(减)函数，则 f(x)＋g(x)也是区间 A上的增(减)函数．更进一步，有增
＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减．
(2)若k>0，则 kf(x)与f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与f(x)单调性相反．
(3)在公共定义域内，函数 y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；函数 y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单
调性相同．
1．（2021 秋•东海县期中）函数 f（x）
¿1
x
的单调减区间是（　　）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）和（0，+∞）
2．（2021 秋•邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（　　）
A．
y=−1
x
B．y＝2x+1 C．y＝x2D．y＝x0
（多选）3． （ 2021 秋•滦南县校级月考）下列函数中满足“对任意 x1，x2∈（0，+∞ ），都有
f(x1)−f(x2)
x1−x2
＞
0”的是（　　）
A．f（x）
¿−2
x
B．f（x）＝﹣3x+1
C．f（x）＝x2+4x+3 D．f（x）＝x1﹣
4．（2021 秋•滦南县校级月考）函数
y=1
❑
√
x2+4x−5
的单调递增区间是 　　．
5．（2021 秋•朝阳区校级月考）已知函数 f（x）＝x|x| 2﹣x的单调增区间为　　．
6．（2021 秋•鼓楼区校级月考）已知函数
f(x)=x+1
x+3
．
（1）讨论函数 f（x）在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）当 m∈（﹣2，2）时，有 f（﹣2m+3）＜f（m2），求 m的范围．
【考点 2：已知函数的单调性求参或求自变量】
【知识点：已知函数的单调性求参或求自变量】
1．（2021•河北区学业考试）已知函数 f（x）＝x2﹣kx 8﹣在区间[5，20]上具有单调性，则实数 k的取值范
围是（　　）
A．（﹣∞，10] [40∪，+∞）B．（﹣∞，﹣40] [ 10∪﹣，+∞）
C．[10，+∞）D．[40，+∞）
2．（2021 秋•河西区期末）若函数 f（x）
在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则实数 k的取值范围是
（　　）
A．（﹣∞，﹣1）B．{ 2}﹣C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）
3．（2021 秋•辽宁期中）已知函数
f(x)=
{
x2−2ax ，x ≥1
ax−1，x＜1
是R上的增函数，则实数 a的取值范围是（
）
A．（0，
2
3
）B．（0，
2
3
] C．（0，1）D．（0，1]
4．（2021 秋•凉山州期末）已知 f（x）＝ax2+1 是定义在 R上的函数，若对于任意 1≤x1＜x2≤3，都有
f(x1)−f(x2)
x1−x2
＞−2
，则实数 a的取值范围是（　　）
A．{0} B．[0，+∞）C．
¿
D．
¿
5．（2021 秋•滦南县校级月考）若函数 f（x）＝x2+（2a1﹣）x+1 在区间（﹣∞，2]单调递减，则实数 a的
取值范围为 　　．
6．（2021 秋•武汉期末）若函数 f（x）＝ax2+2x1﹣在区间（﹣∞，6）上单调递增，则实数 a的取值范围
是 　　．
【考点 3：利用函数的单调性求最值】
【知识点：利用函数的单调性求最值】
1．函数的最值
前提 设函数 f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足
条件 对于任意 x∈I，都有 f(x)≤M；存在
x0∈I，使得 f(x0)＝M
对于任意 x∈I，都有 f(x)≥M；存在
x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．
1．（2022 春•爱民区校级期末）若函数
f(x)=2x+m
x+1
在区间[0，1]上的最大值为
5
2
，则实数 m＝（　　）
A．3 B．
5
2
C．2 D．
5
2
或3
2．（2022 春•阎良区期末）设函数
f(x)= 2x
x−2
在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为 M，m，则 M+m＝
（　　）
A．4 B．6 C．10 D．24
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