《2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列》专题3.2 函数的基本性质（6类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题 3.2 函数的基本性质
【考点 1：函数的单调性及单调区间】.................................................................................................................1
【考点 2：已知函数的单调性求参或求自变量】..................................................................................................4
【考点 3：利用函数的单调性求最值】.................................................................................................................7
【考点 4：判断或证明函数的奇偶性】.................................................................................................................9
【考点 5：函数奇偶性的应用】........................................................................................................................... 12
【考点 6：函数单调性与奇偶性的综合应用】....................................................................................................15
【考点 1：函数的单调性及单调区间】
【知识点：函数的单调性及单调区间】
1、函数单调性的定义
增函数 减函数
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两
个自变量 x1，x2
当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说
函数 f(x)在区间 D上是增函数
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就
说函数 f(x)在区间 D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2．复合函数单调性的规律
若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们
的复合函数为减函数．即“同增异减”．
3．函数单调性的性质
(1)若f(x)，g(x)均为区间 A上的增(减)函数，则 f(x)＋g(x)也是区间 A上的增(减)函数．更进一步，有增
＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减．
(2)若k>0，则 kf(x)与f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与f(x)单调性相反．
(3)在公共定义域内，函数 y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；函数 y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单
调性相同．
1．（2021 秋•东海县期中）函数 f（x）
¿1
x
的单调减区间是（　　）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）和（0，+∞）
【分析】根据题意，求出函数的导数，由导数与函数单调性的关系分析可得 f（x）的递减区间，综合即
可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 f（x）
¿1
x
，其定义域为{x|x≠0}其导数 f′（x）
¿−1
x2
，
分析可得：当 x＞0时，f′（x）＜0，即函数 f（x）在（0，+∞）上为减函数，
当x＜0时，f′（x）＜0，即函数 f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；
综合可得：函数 f（x）
¿1
x
的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；
故选：D．
2．（2021 秋•邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（　　）
A．
y=−1
x
B．y＝2x+1 C．y＝x2D．y＝x0
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 A，y
¿−1
x
，为反比例函数，在（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意；
对于 B，y＝2x+1，为一次函数，在（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意；
对于 C，y＝x2，为二次函数，在（﹣∞，0）上为减函数，符合题意；
对于 D，y＝x0＝1，（x≠0），在（﹣∞，0）上不是减函数，不符合题意；
故选：C．
（多选）3． （ 2021 秋•滦南县校级月考）下列函数中满足“对任意 x1，x2∈（0，+∞ ），都有
0”的是（　　）
A．f（x）
¿−2
x
B．f（x）＝﹣3x+1
C．f（x）＝x2+4x+3 D．f（x）＝x1﹣
【分析】由题意可知 f（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合基本初等函数的单调性分别检验各选项
即可判断．
【解答】解：因为对任意 x1，x2∈（0，+∞），都有
f(x1)−f(x2)
x1−x2
＞
0，
所以 f（x）在（0，+∞）上单调递增，
A：根据反比例函数性质可知 f（x）
¿−2
x
在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
B：根据一次函数的性质可知，f（x）＝﹣3x+1 在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
C：根据二次函数的性质可知 f（x）＝x2+4x+3 在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
D：根据一次函数的性质可知，f（x）＝x1﹣在（0，+∞）上单调递增，符合题意．
故选：ACD．
4．（2021 秋•滦南县校级月考）函数
y=1
❑
√
x2+4x−5
的单调递增区间是 　（﹣∞，﹣ 5 ）　 ．
【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则 x2+4x5﹣＞0，解得 x＜﹣5或x＞1，
所以函数
y=1
❑
√
x2+4x−5
的定义域为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞），
所以 y＝x2+4x5﹣的单调递减区间为（﹣∞，﹣5），
因为 y
¿1
❑
√
x
在定义域内单调递减，
所以数
y=1
❑
√
x2+4x−5
的单调递增区间是（﹣∞，﹣5），
故答案为：（﹣∞，﹣5）．
5．（2021 秋•朝阳区校级月考）已知函数 f（x）＝x|x| 2﹣x的单调增区间为　（﹣∞，﹣ 1 ）和（ 1 ， +∞ ）
．
【分析】分别讨论 x≥0，和 x＜0的情况，结合二次函数的单调性，从而求出函数的单调区间．
【解答】解：x≥0 时，f（x）＝x22﹣x，对称轴 x＝1，开口向上，在（1，+∞）递增，
x＜0时，f（x）＝﹣x22﹣x，对称轴 x＝﹣1，开口向下，在（﹣∞，﹣1）递增，
∴函数的递增区间是：（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．
6．（2021 秋•鼓楼区校级月考）已知函数
f(x)=x+1
x+3
．
（1）讨论函数 f（x）在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）当 m∈（﹣2，2）时，有 f（﹣2m+3）＜f（m2），求 m的范围．
【分析】（1）根据题意，由作差法分析可得答案；
（2）根据题意，结合函数的单调性可得﹣2m+3＜m2，解可得 m的取值范围，结合 m∈（﹣2，2），分
析可得答案．
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