《【同步题型讲义】2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）》第14讲 解三角形中周长最大值及取值范围问题（解析版）

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第1 4 讲 解三角形中周长最大值及取值范围问题
【考点分析】
考点一：解三角形中角的最值及范围问题
①利用锐角三角形， ，求出角的范围
②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：
考点一：解三角形中周长的最值及范围问题
①利用基本不等式： ，再利用 及 ，求出
的取值范围
②利用三角函数思想： ，结合辅助角公式及三角函
数求最值
【题型目录】
题型一：三角形角的最值及范围问题
题型二：三角形边周长的最值问题
题型三：三角形边周长的最值范围问题
【典型例题】
题型一：三角形角的最值问题
【例1】在 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ，则 A的最大值为
（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理可转化 为 ，结合均值不等式以及余弦定理
可得解
【详解】因为 ，由正弦定理
所以 ．
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 A的最大值为 ．
故选：D
【例2】在 中，角 A
，
B
，
C的对边分别为 a，b，c，若 ，则 的最大值是（）
A．1 B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知及余弦定理可得 ，再由 及基本不等式求 C的范围，进而
求 的最大值.
【详解】由余弦定理， ，即 ，
而 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，则 ，故 ，
所以 的最大值是 .
故选：B
【例3】锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ，则（）
A．B． 的取值范围是
C．D． 的取值范围是
【答案】ABD
【分析】由正弦定理结合三角恒等变换得出 ，再由锐角三角形的定义得出 ，再由
求解即可.
【详解】由正弦定理可知， ， ，
，即 ，所以 ， ，因为 是
锐角三角形，所以 ，解得 ，
故选：ABD
【例4】已知在锐角 中， .
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）化简题干条件得到 ，从而根据 是锐角三角形，得到 ，得到
；
（2）先根据锐角三角形得到 ，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到
.
（1）
证明：由 知：
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