《2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）》专题2.7 多项式（知识讲解）

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专题 2.7 多项式（知识讲解）

【学习目标】

1．认识整式的意义及表示方法；

2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；

3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；

4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．

【要点梳理】

要点一、多项式

1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．

特别说明：“几个”是指两个或两个以上．

2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．

特别说明：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．

（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：

6 2 7x x 

是一个三项式．

3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这

个多项式的次数．

特别说明：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而

是多项式中次数最高的单项式的次数．

（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最

高次项时，都应写出．

要点二、整式

单项式与多项式统称为整式．

特别说明：

（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，

但反过来就不一定成立．

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．

【典型例题】

类型一、多项式的判断

1．定义：f（a，b）是关于 a，b的多项式，如果 f（a，b）＝f（b，a），那么

f（a，b）叫做“对称多项式”．例如，如果 f（a，b）＝a2+a+b+b2，则 f（b，a）＝

b2+b+a+a2，显然，所以 f（a，b）＝f（b，a）是“对称多项式”．

(1)f（a，b）＝a22﹣ab+b2是“对称多项式”，试说明理由；

(2)请写一个“对称多项式”，f（a，b）＝（不多于四项）；

【答案】(1)见分析(2)a+b，答案不唯一

【分析】

（1）根据对称多项式的定义，把多项式中的 a，b互换，多项式不变就是，据此即可

判断；

（2）根据定义即可写出，答案不唯一．

(1)解：∵f（b，a）＝a22﹣ab+b2，

∴f（a，b）＝f（a，b），

∴f（a，b）＝a22﹣ab+b2是“对称多项式”．

(2)∵f（a，b）＝a+b，f（b，a）＝b+a，

∴f（a，b）＝f（b，a），

∴f（a，b）＝a+b是“对称多项式”．

故答案为：a+b．（答案不唯一）

【点拨】本题主要考查了整式的运算，理解“对称多项式”的定义，是解题的关键．

举一反三：

【变式 1】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中．

指出其中各单项式的系数；多项式中哪个次数最高？次数是多少？

【答案】单项式： ;多项式：；单项

式的系数分别为：；多项式的次数最高，4次．

【分析】根据单项式定义，多项式的定义，单项式系数，单项式的次数等进行解答即

可．

解：单项式： ;

多项式：；

单项式的系数是：；单项式的系数是：；单项式的系数是：

；

多项式的次数最高，4次．

【点拨】本题考查了多项式、单项式有关内容，熟知相关概念是解本题的关键．

【变式 2】将下列代数式按尽可能多的方法分类（至少写三种）：

．

【分析】根据整式和分式分类，单项式，多项式，分式分类，单项式二项式，四项式，

分式分类，即可．

解：①整式：分式：；

②单项式：多项式：分式：；

③单项式：二项式：四项式：分式：

．

【点拨】本题主要考查整式，单项式，多项式的概念，熟练掌握整式，单项式、多项

式的定义是解题的关键．

类型二、多项式的项、项的系数、次数

2．已知单项式 3x2yn 的次数为 5，多项式 6+x2y﹣x2﹣x2ym+3 的次数为 6，求

单项式（m+n）xmyn 的次数与系数的和．

【答案】8

【分析】根据已知求出 m、n的值，把 m、n的值代入单项式，求出单项式的系数和次

数，即可得出答案．

解：∵单项式 3x2yn 的次数为 5，多项式 6＋x2y−x2−x2ym＋3的次数为 6，

∴2＋n＝5，2＋m＋3＝6，

解得：m＝1，n＝3，

∴（m＋n）xmyn＝4xy3，

系数是 4，次数是 1＋3＝4，

4＋4＝8，

即单项式（m＋n）xmyn 的次数与系数的和是 8．

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