《2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）》专题1.28 有理数的乘方（知识讲解）

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专题 1.28 有理数的乘方（知识讲解）

【学习目标】

1．理解有理数乘方的定义；

2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；

3. 进一步掌握有理数的混合运算.

【要点梳理】

要点一、有理数的乘方

定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂

(power)．

即有：

a a a a

   

    

个

.在

中，

叫做底数， n 叫做指数.

特别说明：

（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．

（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．

（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5 就是 51，指数 1 通常省略不写．

2. 性质：

要点二、乘方运算的符号法则

（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

（3）0 的任何正整数次幂都是 0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．

特别说明：

(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计

算幂的绝对值．

(2)任何数的偶次幂都是非负数．

要点三、有理数的混合运算

有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右

进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

特别说明：

(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法

是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；

（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小

括号的顺序进行．

(3)在运算过程中注意运算律的运用．

【典型例题】

类型一、有理数的幂的概念的理解

1．把下列各式用幂的形式表示，并说出底数和指数：

（1）（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）；（2）．

【答案】（1）（﹣3）3，底数为﹣3，指数为 3；（2）（+）4，底数为+，指数为

4．

【分析】

（1）（2）都是相同的几个数字相乘，根据乘方的定义即可解答.

解：（1）( 3)×( 3)×( 3)﹣ ﹣ ﹣ ＝( 3)﹣3，底数为﹣3，指数为 3；

（2）＝ 4, 底数为+，指数为 4.

【点拨】求 n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作 an，其中 a

叫做底数，n叫做指数.

举一反三：

【变式 1】（1）中，底数、指数各是什么？

（2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？

【答案】（1）底数是，指数是 8；（2）中叫做底数，8叫做指数，

是正数．

【分析】

（1）根据乘方的定义，a•a•...•a（n个a）=an，a是底数，n是指数，进而解决本题；

（2）根据有理数的乘方的概念即可回答．

解：（1）中，底数是，指数是 8；

（2）中叫做底数，8叫做指数，是正数．

【点拨】本题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方的概念解答．注意：负数

的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．

【变式 2】阅读以下材料，完成下列问题.

（1）我们已经学过了乘方运算，我们知道表示 2个-2 相乘，即，那么

表示，把写成乘方的形式表示为，此时底数是 .

（2）将（1）中两个底数同为-2 的幂相乘，即，结果共有个-2 相

乘，写成幂的形式为；

（3）若将（2）中算式中的底数都换为，则表示，计算结果为

若将（2）中算式中的指数换为正整数，则，请用一句话概括你发

现的结论；

（4）利用上述结论，完成以下填空

若，则，；

若，，，写出的数量关系 .

【答案】（1）3个-2 相乘，即；； ;；（2）5；；

（3）5个相乘，即；；；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；

（4）；25；

【分析】

（1）利用乘法和乘方的意义，得到结果；

（2）利用同底数幂的乘法公式，进行计算．

（3）利用同底数幂的乘法公式，进行计算，并得到结论．

（4）利用同底数幂的乘法公式，进行计算．

解：（1）表示 3个-2 相乘，，把写成乘方的形式

表示为，此时底数是 .

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