《2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）》专题09 用二次函数解决实际问题(解析版)（重点突围）

3.0 cande 2025-05-17 13 4 3.63MB 46 页 3知币
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专题 09 用二次函数解决实际问题
考点一 用二次函数解决增长率问题 考点二 用二次函数解决销售问题
考点三 用二次函数解决拱桥问题 考点四 用二次函数解决喷水问题
考点五 用二次函数解决投球问题 考点六 用二次函数解决图形问题
考点七 用二次函数解决图形运动问题
考点一 用二次函数解决增长率问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为 x，已知 2020 年产量为 1
万件，那么 2022 年的产量 y（万件）与 x间的关系式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为产量的平均增长率相同，所以 2021 的产量为 ，2022 年的产量为 ，由此即可知
道2022 年的产量 y（万件）与 x间的关系式．
【详解】
解：∵2020 年产量为 1万件，且产量年均增长率为 x
．
∴2021 年产量为 ；2022 年的产量为 ．
∴2022 年的产量 y（万件）与 x间的关系式为 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查二次函数的实际问题，能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是 2万件，计划今后两年增加产量，如果
每年都比上一年的产量增加 x倍，那么两年后这种产品的产量 y（万件）将随计划所定的 x的值而确定，那
么y与x之间的关系式应表示为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
根据平均增长问题，可得答案．
【详解】
解：y与x之间的关系应表示为 y＝2（x+1）2．
故答案为：y＝2（x+1）2．
【点睛】
本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加 x倍是原来的（x+1）倍．
2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作
的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从 2020 年底的 3万户增长到 2022 年底的 4.32 万户，求该市这两年旧房
改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造 300 户，计划投入改造费用平均 20000 元/户，且计
划改造的户数每增加 1户，投入改造费平均减少 50 元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【解析】
【分析】
（1）设平均增长率为 x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造 y户，最高投入费用为 w元，根据题意列式
，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【详解】
解：（1）设平均增长率为 x，则 x>0，
由题意得： ，
解得：x=0.2 或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为 20%；
（2）设多改造 a户，最高投入费用为 w元，
由题意得： ，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当 a-50=0，即 a=50 时，w最大，此时 w=612500 元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为 612500 元．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．
考点二 用二次函数解决销售问题
例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20
件，每件盈利 40 元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，
经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出 2件．
(1)若降价 3元，则平均每天销售数量为件：
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？
【答案】(1)26
(2)当每件商品降价 15 元时，该商店每天销售利润最大．
【解析】
【分析】
（1）由题意可直接进行求解；
（2）设每件商品降价 x元，每天销售利润为w元，由题意可列出函数关系式，进而问题可求解．
(1)
解：由题意得：平均每天销售数量为 （件）；
故答案为 26；
(2)
解：设每件商品降价 x元，每天销售利润为w元，由题意得：
，
∵每件盈利不少于 25 元，
∴ ，解得： ，
∵-2＜0，对称轴为直线 ，
∴当 时，w有最大值，
答：当每件商品降价 15 元时，该商店每天销售利润最大．
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