《2023学年八年级数学下册举一反三系列（人教版）》专题17.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）

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专题 17.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】
【人教版】
【题型 1 勾股定理的运用】........................................................................................................................................1
【题型 2 直角三角形中的分类讨论思想】................................................................................................................2
【题型 3 勾股定理解勾股树问题】............................................................................................................................2
【题型 4 勾股定理解动点问题】................................................................................................................................4
【题型 5 勾股定理的验证】........................................................................................................................................5
【题型 6 直角三角形的判定】....................................................................................................................................7
【题型 7 勾股数问题】................................................................................................................................................8
【题型 8 格点图中求角的度数】................................................................................................................................9
【题型 9 勾股定理及其逆定理的运用】..................................................................................................................10
【知识点 1 勾股定理】
在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角
边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么
a2
+
b2
=
c2
．
【题型 1 勾股定理的运用】
【例 1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则 AC
的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式 1-1】（2022 春•上杭县期中）如图在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC 的垂直平分线
DE 分别交 AB、AC 于D、E两点，则 BD 的长为（　　）
A．
3
2
B．
7
4
C．2 D．
5
2
【变式 1-2】（2022 春•汉阳区期中）如图，在△ABC 中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则
CD＝　 　 ．
【变式 1-3】（2021 秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC 上一点，
AD：CD＝25：7，且 DB＝DA，过 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于E，PF⊥BD 于F，则 PE+PF 长是
．
【题型 2 直角三角形中的分类讨论思想】
【例 2】（2022 春•长沙月考）已知△ABC 中，AB＝13，AC＝15，BC 边上的高为 12．则△ABC 的面积为
（　　）
A．24 或84 B．84 C．48 或84 D．48
【变式 2-1】（2022 春•宁津县期中）△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12，则△ABC 的周长是（
）
A．42 B．32 C．42 或32 D．42 或37
【变式 2-2】（2022 春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为 5和12，则此三角形的周长为（　　）
A．30 B．
17 C．
❑
√
119+¿
17 或30 D．36
【变式 2-3】（2022 春•海淀区校级期中）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点 P在直线 AC
上，且 BP＝6，则线段 AP 的长为 　 　 ．
【题型 3 勾股定理解勾股树问题】
【例 3】（2021 秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若
正方形 A、B、D的面积依次为 6、10、24，则正方形 C的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式 3-1】（2021 秋•高新区校级期末）如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边
形的四条边为边向外作四个正方形，若 S1+S4＝135，S3＝49，则 S2＝（　　）
A．184 B．86 C．119 D．81
【变式 3-2】（2022 春•泗水县期中）有一个边长为 1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生
出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图 ，
如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了 2022 次后形成的图形中所有
正方形的面积之和为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【变式 3-3】（2022 春•张湾区期中）如图①，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三
角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为 4：3的直
角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图 ②是1次操作后的图形，图③
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