《2023学年八年级数学下册举一反三系列（人教版）》专题16.3 二次根式的加减【八大题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）

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专题 16.3 二次根式的加减【八大题型】
【人教版】
【题型 1 同类二次根式的判断】................................................................................................................................1
【题型 2 求同类二次根式中的参数】........................................................................................................................1
【题型 3 二次根式的加减运算】................................................................................................................................2
【题型 4 二次根式的混合运算】................................................................................................................................3
【题型 5 已知字母的值化简求值】............................................................................................................................3
【题型 6 已知条件式化简求值】................................................................................................................................4
【题型 7 二次根式的新定义运算】............................................................................................................................4
【题型 8 二次根式的应用】........................................................................................................................................4
【知识点 1 同类二次根式】
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【题型 1 同类二次根式的判断】
【例 1】（2022 春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（　　）
A．
❑
√
3
与
❑
√
32
B．
❑
√
6
与
❑
√
12
C．
❑
√
5
与
❑
√
75
D．
❑
√
12
与
【变式 1-1】（2022 春•郯城县期中）下列根式中，与
❑
√
6x
不是同类二次根式的是（　　）
A．
❑
√
x
6
B．
❑
√
6
x
C．
❑
√
1
6x
D．
❑
√
6+x
【变式 1-2】（2022 春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次
根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（　　）
A．
❑
√
8
与
❑
√
32
B．
❑
√
45
与
❑
√
20
C．
❑
√
27
与
❑
√
75
D．
❑
√
24
与
❑
√
80
【变式 1-3】（2022 春•河西区校级月考）下列各式中与
❑
√
a+b
是同类二次根式的是（　　）
A．
1
a
❑
√
¿¿
B．
1
3
❑
√
3(a+b)
C．
❑
√
a+b
2
D．
❑
√
9
a+b
【题型 2 求同类二次根式中的参数】
【例 2】（2022 春•怀远县期中）已知二次根式
−❑
√
x − 2
．
（1）求使得该二次根式有意义的 x的取值范围；
（2）已知
−❑
√
x − 2
为最简二次根式，且与
❑
√
5
2
为同类二次根式，求 x的值，并求出这两个二次根式的积．
【变式 2-1】（2022 秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式
❑
√
3a+8
与
❑
√
12− a
是同类二次根式，那么 3
❑
√
a
的值为　 　 ．
【变式 2-2】（2022 春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：
如果
❑
√
16(2m+n)
和
m− n− 1
√
m+7
在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求 m、n的值．
解：因为
❑
√
16(2m+n)
与
m− n− 1
√
m+7
可以合并
所以
{
m −n −1=2
16(2m+n)=m+7
)
即
{
m− n=3
31 m+16 n=7
)
解得
{
m=55
47
n=−86
47
)
问：
（1）以上解是否正确？答　 　 ．
（2）若以上解法不正确，请给出正确解法．
【变式 2-3】（2022 春•孟村县期中）若最简二次根式
3x −10
√
2x+y −5
和
❑
√
x − 3y+11
是同类二次根式．
（1）求 x，y的值；
（2）求
❑
√
x2+y2
的值．
【知识点 2 二次根式的加减法则】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方
法为系数相加减，根式不变．
【题型 3 二次根式的加减运算】
【例 3】（2022 春•普兰店区期中）计算：
（1）
❑
√
18 −❑
√
32+❑
√
2
（2）7a
❑
√
8a − 4a2❑
√
1
8a+7a❑
√
2a
．
【变式 3-1】（2022 春•高密市校级月考）计算：
（1）
❑
√
0.25+❑
√
9
25 +❑
√
0.49+¿
|
−❑
√
1
100
|
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