《2023学年八年级数学下册举一反三系列（人教版）》专题16.3 二次根式的加减【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

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专题 16.3 二次根式的加减【八大题型】
【人教版】
【题型 1 同类二次根式的判断】................................................................................................................................1
【题型 2 求同类二次根式中的参数】........................................................................................................................3
【题型 3 二次根式的加减运算】................................................................................................................................4
【题型 4 二次根式的混合运算】................................................................................................................................6
【题型 5 已知字母的值化简求值】............................................................................................................................7
【题型 6 已知条件式化简求值】................................................................................................................................9
【题型 7 二次根式的新定义运算】..........................................................................................................................11
【题型 8 二次根式的应用】......................................................................................................................................12
【知识点 1 同类二次根式】
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【题型 1 同类二次根式的判断】
【例 1】（2022 春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（　　）
A．
❑
√
3
与
❑
√
32
B．
❑
√
6
与
❑
√
12
C．
❑
√
5
与
❑
√
75
D．
❑
√
12
与
【分析】化简二次根式，判断被开方数是否相同即可得出答案．
【解答】解：A选项，
❑
√
3
与4
❑
√
2
不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B选项，
❑
√
6
与2
❑
√
3
不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
C选项，
❑
√
5
与5
❑
√
3
不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D选项，2
❑
√
3
与3
❑
√
3
是同类二次根式，可以合并，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式 1-1】（2022 春•郯城县期中）下列根式中，与
❑
√
6x
不是同类二次根式的是（　　）
A．
❑
√
x
6
B．
❑
√
6
x
C．
❑
√
1
6x
D．
❑
√
6+x
【分析】根据同类二次根式的概念进行分析排除，即几个最简二次根式的被开方数相同，则它们是同类
二次根式．
【解答】解：A、
❑
√
x
6=1
6
❑
√
6x
，与
❑
√
6x
是同类二次根式；
B、
❑
√
6
x=1
x
❑
√
6x
，与
❑
√
6x
是同类二次根式；
C、
❑
√
1
6x=1
6x
❑
√
6x
，与
❑
√
6x
是同类二次根式；
D、
❑
√
6+x
与
❑
√
6x
不是同类二次根式，
故选：D．
【变式 1-2】（2022 春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次
根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（　　）
A．
❑
√
8
与
❑
√
32
B．
❑
√
45
与
❑
√
20
C．
❑
√
27
与
❑
√
75
D．
❑
√
24
与
❑
√
80
【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式 ．
根据定义逐个判断可知答案为 D
【解答】解：∵
❑
√
24=¿
2
❑
√
6
，
❑
√
80=¿
4
❑
√
5
，
∵5≠6，
∴
❑
√
24
与
❑
√
80
不是同类二次根式，
故选：D．
【变式 1-3】（2022 春•河西区校级月考）下列各式中与
❑
√
a+b
是同类二次根式的是（　　）
A．
1
a
❑
√
¿¿
B．
1
3
❑
√
3(a+b)
C．
❑
√
a+b
2
D．
❑
√
9
a+b
【分析】根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、
1
a
❑
√
¿¿
与
❑
√
a+b
不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、
1
3
❑
√
3(a+b)=1
3
❑
√
3a+3b
与
❑
√
a+b
不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、
❑
√
a+b
2=
❑
√
2a+2b
2
与
❑
√
a+b
不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、
❑
√
9
a+b=3
a+b
❑
√
a+b
与
❑
√
a+b
是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【题型 2 求同类二次根式中的参数】
【例 2】（2022 春•怀远县期中）已知二次根式
−❑
√
x − 2
．
（1）求使得该二次根式有意义的 x的取值范围；
（2）已知
−❑
√
x − 2
为最简二次根式，且与
❑
√
5
2
为同类二次根式，求 x的值，并求出这两个二次根式的积．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出 x2≥0﹣ ，求出不等式的解集即可；
（2）先求出
❑
√
5
2=1
2
❑
√
10
，得出 x2﹣ ＝10，求出 x即可．
【解答】解：（1）要使
−❑
√
x − 2
有意义，必须 x2≥0﹣ ，
即x≥2，
所以使得该二次根式有意义的 x的取值范围是 x≥2；
（2）
❑
√
5
2=1
2
❑
√
10
，
所以 x2﹣ ＝10，
解得：x＝12，
这两个二次根式的积为
−❑
√
10 ×❑
√
5
2=−
5．
【变式 2-1】（2022 秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式
❑
√
3a+8
与
❑
√
12− a
是同类二次根式，那么 3
❑
√
a
的值为　 3 　 ．
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式概念作答．
【解答】解：由题意得 3a+8＝12﹣a，
解得 a＝1，
当a＝1时3
❑
√
a=¿
3．
故答案为：3．
【变式 2-2】（2022 春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：
如果
❑
√
16(2m+n)
和
m− n− 1
√
m+7
在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求 m、n的值．
解：因为
❑
√
16(2m+n)
与
m− n− 1
√
m+7
可以合并
所以
{
m −n −1=2
16(2m+n)=m+7
)
即
{
m− n=3
31 m+16 n=7
)
解得
{
m=55
47
n=−86
47
)
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