《2023学年八年级数学下册举一反三系列（人教版）》专题16.2 二次根式的乘除【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

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专题 16.2 二次根式的乘除【九大题型】
【人教版】
【题型 1 求字母的取值范围】....................................................................................................................................1
【题型 2 二次根式乘除的运算】................................................................................................................................2
【题型 3 二次根式的符号化简】................................................................................................................................3
【题型 4 最简二次根式的判断】................................................................................................................................5
【题型 5 化为最简二次根式】....................................................................................................................................6
【题型 6 已知最简二次根式求参数】........................................................................................................................7
【题型 7 分母有理化】................................................................................................................................................8
【题型 8 比较二次根式的大小】..............................................................................................................................10
【题型 9 分母有理化的应用】..................................................................................................................................11
【知识点 1 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：
❑
√
a ∙❑
√
b=❑
√
a∙ b(a ≥ 0,b ≥ 0)
；
②积的算术平方根：
❑
√
a ∙ b=❑
√
a ∙❑
√
b(a ≥ 0,b ≥ 0)
；
③二次根式的除法法则：
❑
√
a
❑
√
b=❑
√
a
b(a ≥ 0, b>0)
；
④商的算术平方根：
❑
√
a
b=
❑
√
a
❑
√
b(a ≥ 0, b>0)
.
【题型 1 求字母的取值范围】
【例 1】（2022 春•赵县校级月考）若要使等式
❑
√
x
x −8=
❑
√
x
❑
√
x −8
成立，则 x的取值范围是　 x ＞ 8 　 ．
【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于 x的不等式组求出答案．
【解答】解：∵等式
❑
√
x
x −8=
❑
√
x
❑
√
x −8
成立，
∴
{
x ≥0
x − 8＞0
)
，
则x的取值范围是：x＞8．
故答案为：x＞8．
【变式 1-1】（2022 秋•犍为县校级月考）已知
❑
√
(x −3)⋅(− x −2)=❑
√
3− x ⋅❑
√
x+2
，使等式成立的 x的取
值范围是　﹣ 2≤ x ≤3 　 ．
【分析】根据二次根式的性质得出关于 x的不等式组，进而求出答案．
【解答】解：∵
❑
√
(x −3)⋅(− x −2)=❑
√
3− x ⋅❑
√
x+2
，
∴
{
3− x ≥ 0
x+2≥0
)
，
解得：﹣2≤x≤3．
故答案为：﹣2≤x≤3．
【变式 1-2】（2022 秋•南岗区期末）能使等式
❑
√
x −2
x=
❑
√
x − 2
❑
√
x
成立的 x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
【解答】解：由题意得：
{
x −2≥0
x＞0
)
，
解得：x≥2，
故选：D．
【变式 1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数 x满足
❑
√
2x2− x3=¿
x•
❑
√
2− x
，则 x的取值范围是　 0≤ x ≤2
．
【分析】依据二次根式被开方数大于等于 0和
❑
√
a2=¿
a（a≥0）列不等式组求解即可．
【解答】解：∵原式
¿❑
√
(2− x)x2=¿
x•
❑
√
2− x
，
∴x≥0 且2﹣x≥0．
解得：0≤x≤2．
故答案为：0≤x≤2．
【题型 2 二次根式乘除的运算】
【例 2】（2022•长宁区期中）计算：
（1）5
❑
√
8
27
•
❑
√
8
27
•3
❑
√
54
；
（2）2
❑
√
11
2÷
5
❑
√
1
6⋅❑
√
12
．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝5
×8
27 ×3×3❑
√
6=40 ❑
√
6
3
．
（2）原式＝2
×1
5×❑
√
3
2×6×12=12❑
√
3
5
．
【变式 2-1】（2022•长宁区期中）计算：2
❑
√
2
3m÷1
6
❑
√
6m
•
❑
√
8m3
．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．
【解答】解：原式＝2×6
❑
√
2
3m×1
6m×8m3
＝12
❑
√
8m
9
＝8
❑
√
2m
．
【变式 2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：
3
5
❑
√
x y3÷(−4
15
❑
√
y
x)⋅(−5
6
❑
√
x3y)
（x＞0）．
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．
【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，
∴y≥0，
∴原式
¿3
5
❑
√
xy3
•（
−15
4
❑
√
x
y
）•（
−5
6
❑
√
x3y
）
¿−9
4
❑
√
x2y2
•（
−5
6
❑
√
x3y
）
¿−9
4
xy•（
−5
6
x
❑
√
xy
）
¿15
8x2y❑
√
xy
．
【变式 2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：
2
b
❑
√
a b3(−3
2
❑
√
a3b)÷3❑
√
a
b
（b＜0）．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：∵由二次根式的性质可得 a＜0，b＜0，
∴原式
¿2
b
•（﹣b）
❑
√
ab
•（
3
2
a
❑
√
ab
）÷3
❑
√
ab
− b
＝﹣3a2b÷3
❑
√
ab
− b
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