《2023学年八年级数学下册举一反三系列（人教版）》专题16.1 二次根式【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

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专题 16.1 二次根式【九大题型】
【人教版】
【题型 1 根据二次根式概念判断二次根式】...........................................................................................................1
【题型 2 根据二次根式的定义求字母的值】...........................................................................................................2
【题型 3 根据二次根式有意义条件求范围】..........................................................................................................4
【题型 4 根据二次根式有意义条件求值】...............................................................................................................4
【题型 5 利用二次根式的性质化简（数字型）】...................................................................................................6
【题型 6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】.......................................................................................7
【题型 7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】...................................................................................9
【题型 8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】.................................................................................................10
【题型 9 复杂的复合型二次根式化简】...................................................................................................................12
【知识点 1 二次根式的定义】
形如
❑
√
a
（
a ≥ 0
）的式子叫做二次根式，
❑
√
❑
叫做二次根号，
a
叫做被开方数.
【题型 1 根据二次根式概念判断二次根式】
【例 1】（2022 春•宁津县期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（　　）
❑
√
3
，
❑
√
m
，
❑
√
x2+1
，
，
❑
√
−m2−1
，
❑
√
a
3
（a≥0），
❑
√
2a+1
（a
＜1
2
）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．
【解答】解：
❑
√
3
一定是二次根式；
当m＜0时，
❑
√
m
不是二次根式；
对于任意的数 x，x2+1＞0，则
❑
√
x2+1
一定是二次根式；
3
√
4
是三次方根，不是二次根式；
﹣m21﹣ ＜0，则
❑
√
−m2−1
不是二次根式；
❑
√
a
3
是二次根式；
当a
＜1
2
时，2a+1 可能小于 0，不是二次根式．
故选：A．
【变式 1-1】（2022 春•顺平县期末）下列各式是二次根式的是（　　）
A．
❑
√
−2
B．
−❑
√
2
C．
3
√
2
D．
❑
√
x
【分析】根据二次根式的定义，形如
❑
√
a
（a≥0）的式子是二次根式，即可解答．
【解答】解：A、
❑
√
−2
无意义，故 A不符合题意；
B、
−❑
√
2
是二次根式，故 B符合题意；
C、
3
√
2
不是二次根式，故 C不符合题意；
D、
❑
√
x
（x≥0）是二次根式，故 D不符合题意；
故选：B．
【变式 1-2】（2022 春•宜城市期末）在式子
❑
√
2
，
3
√
3
，
❑
√
x2+1
，x+y中，二次根式有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次根式的定义，形如
❑
√
a
（a≥0）的式子是二次根式，即可解答．
【解答】解：在式子
❑
√
2
，
3
√
3
，
❑
√
x2+1
，x+y中，二次根式有
❑
√
2
，
❑
√
x2+1
，
共有 2个，
故选：B．
【变式 1-3】（2022 春•凤庆县期末）下列各式：
❑
√
5
、
❑
√
a2
，
❑
√
−3
，
3
√
8
，
❑
√
x −1(x⩾1)
，
❑
√
x2+2x+1
中，
一定是二次根式的有（　　）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】利用二次根式的定义对每个式子进行判断即可．
【解答】解：∵式子
❑
√
a
（a≥0）是二次根式，
∴
❑
√
5
，
❑
√
a2
，
❑
√
x−1
（x≥1），
❑
√
x2+2x+1
是二次根式，
❑
√
−3
无意义，
3
√
8
是三次根式，
∴一定是二次根式的有：
❑
√
5
，
❑
√
a2
，
❑
√
x −1
（x≥1），
❑
√
x2+2x+1
，
故选：B．
【题型 2 根据二次根式的定义求字母的值】
【例 2】（2022 春•莱州市期末）若
❑
√
12 n
是整数，则正整数 n的最小值是（　　）
A．1 B．3 C．6 D．12
【分析】根据 12＝22×3，若
❑
√
12 n
是整数，则 12n一定是一个完全平方数，据此即可求得 n的值．
【解答】解：∵12＝22×3，
∴
❑
√
12 n
是整数的正整数 n的最小值是 3．
故选：B．
【变式 2-1】（2022 春•昭阳区校级月考）若
❑
√
80 n
是整数，则正整数 n的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先化简
❑
√
80
，然后根据二次根式的定义判断即可．
【解答】解：∵
❑
√
80=¿
4
❑
√
5
，
∴正整数 n的最小值是：5．
故选：D．
【变式 2-2】（2022 春•信州区校级月考）当 x＝　
−1
2
　时，代数式
3−❑
√
2x+1
有最大值，其最大值是
3 　 ．
【分析】根据二次根式的非负性分析求值．
【解答】解：∵
❑
√
2x+1≥
0，
∴
−❑
√
2x+1≤
0，
∴3
−❑
√
2x+1≤
3，
∴当 2x+1＝0时，即 x
¿−1
2
，
3
−❑
√
2x+1
有最大值为 3，
故答案为：
−1
2
；3．
【变式 2-3】（2022•金牛区校级自主招生）已知 a为实数，则代数式
❑
√
27 −12 a+2a2
的最小值为（　　）
A．0 B．3 C．
3❑
√
3
D．9
【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．
【解答】解：∵原式
¿❑
√
27 −12 a+2a2
¿❑
√
2(a2−6a+9)+9
¿❑
√
2(a −3)2+9
∴当（a3﹣ ）2＝0，即 a＝3时
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