《2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）》专题05 分式突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】 （原卷版）

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专题 05 分式突破核心考点
【聚焦考点+题型导航】
考点一 分式的判断 考点二 分式的有无意义的条件
考点三 分式的值为零 考点四 求使分式为整数时未知数的整数值
考点五 利用分式的基本性质判断分式值的变化 考点六 含乘方的分式乘除混合运算
考点七 分式加减乘除混合运算 考点八 已知分式恒等式，确定分子或分母
考点九 零指数幂及负整数指数幂 考点十 分式化简求值
考点十一 分式方程的定义 考点十二 解分式方程
考点十三 根据分式方程解的情况求值 考点十四 分式方程的实际应用
【知识梳理+解题方法】
一、分式的定义
分式：一般地，整式 A除以整式 B，可以表示成 的形式，如果除式 B中含有字母，那么称 为分式．
分式 中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号.②整式 B作为分
母，则整式 B
¿
0. ③只要最终能转化为 形式即可.④B中若无字母，则变成系数乘 A，为整式.
二、分式的相关概念
1）分式 有意义的条件：分母不为 0，即 B
¿
0
2）分式的值为 0的条件：分子为 0，且分母不为 0，即 A=0且B
¿
0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即 AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即 AB<0
三、分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.
2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零
②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变.即：
用式子表示为 或 ，其中 A，B，C均为整式．
③分式的通分与约分在知识点 4中详细讲解.
四、分式的约分与通分
1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式.
2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，
不改变分式的值.
步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍
数;③分子对应扩大相同倍数.
4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为
公分母，这样的分母叫做最简公分母．
五、分式的混合运算
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为： ．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分 式，然后再加减．
用式子表示为： ．
2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：
．
3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为： ．
4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为： 为正整数， ．
5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
六、整数指数幂（幂的运算的扩大）
1）前面已学习：
①
am∙ an=am+n
，（m，n是正整数）； ②
（am）n=amn
，（m，n是正整数）
③
（ab ）m=ambm
，（m是正整数）； ④
，（a≠0，m、n是正整数，m>n）
⑤
（a
b）
n
=an
bn
，（n是正整数）； ⑥
{
¿当a≠ 0时，a0=1（规定 ）
¿当a=0时， 00无意义
若按照④运算，当 m<n时.如：
a2÷ a3=a2−3=a−1
；根据指数幂的定义
a2÷ a3=a2
a3=1
a
2）针对这种现象，我们规定，当 n为正整数时，
a−n=1
an
（a≠0） 注：
00、0−n
无意义
3）幂的运算性质扩大
当a≠0时 ①
am∙ an=am+n
，（m，n是整数）（公式 1、4的扩展）
②
（am）n=amn
，（m，n是整数）（公式 2的扩展）
③
（ab ）m=ambm
，（m是正整数）（公式 3与公式 5的扩展）
4）利用负指数化除为乘，设 m，n为正整数，a≠0，
根据定义
am÷ an=am− n
还可转化为乘法：
am÷ an=am
an=am∙ a− n=am − n
5）科学记数法的扩大
一般，一个小于 1的数可以表示为 a×
10− n
的形式，其中
{
1＜
|
a
|
＜10
n为负整数
步骤：确定 a值的大小.
1＜
|
a
|
＜10
；确定 n的值.原数变为 a后，小数点向前移动 x位，则原数相应扩大
了10x倍.故 n=-x
七、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
八、分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式
的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘
最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式
项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
九、增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分
式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身
无解，当然原分式方程就一定无解．
十、分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ ，时间＝ 等．
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