《2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）》专题01 三角形（突破核心考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】 （解析版）

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专题 01 三角形（突破核心考点）
【聚焦考点+题型导航】
考点一 三角形三边关系 考点二 三角形的稳定性
考点三 三角形中的高线、中线、角平分线 考点四 三角形的内角、外角
考点五 多边形的对角线、内角和
【知识梳理+解题方法】
一、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为 A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角
形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母 AB、BC、AC 来表示，也可以用小写
字母 a、b、c来表示，边 BC 用a表示，边 AC、AB 分别用 b、c表示．
二、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则
这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围 ．
（3）证明线段之间的不等关系．
三、三角形的分类
1.按角分类：
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两
腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
四、三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我
们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，
列表如下：
线段
名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
文字
语言
从三角形的一个顶点向它的
对边所在的直线作垂线，顶
点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶
点和它对边中点的线
段．
三角形一个内角的平分线
与它的对边相交，这个角
的顶点与交点之间的线
段．
图形
语言
作图
语言
过点 A作AD⊥BC 于点 D． 取 BC 边的中点 D，连
接AD．
作∠BAC 的 平分线 AD，
交BC 于点 D．
标示
图形
符号
语言
1．AD 是△ABC 的高．
2．AD 是△ABC 中BC 边上
的高．
1．AD 是 △ ABC 的 中
线．
2．AD 是 △ ABC 中BC
1．AD 是△ABC 的角平分
线．
2．AD 平分∠BAC ， 交
3．AD⊥BC 于点 D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB
＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
边上的中线．
3．BD＝DC＝BC
4． 点 D是BC 边的中
点．
BC 于点 D．
3． ∠ 1＝ ∠ 2＝
∠BAC．
推理
语言
因为 AD 是△ABC 的高，所
以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为 AD 是△ABC 的中
线，所以 BD＝DC＝
BC．
因为 AD 平分∠BAC，所
以∠1＝∠2＝ ∠BAC．
用途
举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等． 角度相等．
注意
事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同．
重要
特征
三角形的三条高(或它们的
延长线)交于一点．
一个三角形有三条中
线，它们交于三角形内
一点．
一个三角形有三条角平分
线，它们交于三角形内一
点．
五、三角形的稳定性
äää 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
ä（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳
定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线
支架都采用三角形结构，也是这个道理．
ää（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的
大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳
定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
六、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
七、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外
角.
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