《2023学年八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题（人教版）》专题11 整式的乘法与因式分解压轴题真题分类（解析版）

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专题 11 整式的乘法与因式分解压轴题真题分类-高分必刷题（解析

版）

专题简介：本份资料包含《整式的乘法与因式分解》这一章中五种种类型的常考压轴题，所选题目源自

各

名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：幂的运算的压轴题、整式乘法的压轴题、与平

方差公式完全平方公式相关的的压轴题、配方法的压轴题、因式分解的压轴题。适合于培训机构的老师

给学生作复习培训时使用或者学生冲刺高分刷题时使用。

题型一：幂的运算的压轴题

1．（2021 春•岳麓区）定义：如果 2m＝n（m，n为正数），那么我们把 m叫做 n的D数，记作 m＝

D（n）．

（1）根据 D数的定义，填空：D（2）＝　　，D（16）＝　　．

（2）D数有如下运算性质：D（s•t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中 q＞p．

根据运算性质，计算：

①若D（a）＝1，求 D（a3）；

②若已知 D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，试求 D（15），D（），D（108），D（）的值（用

a、b、c表示）．

【解答】解：（1）∵21＝2，∴D（2）＝1，∵24＝16，∴D（16）＝4，故答案为：1；4．

（2）①∵21＝a，∴a＝2．∴23＝23．∴D（a3）＝3．

②D（15）＝D（3×5），＝D（3）+D（5）＝（2a﹣b）+（a+c）＝3a﹣b+c，

＝（a+c）﹣（2a﹣b）＝﹣a+b+c．

D（108）＝D（3×3×3×2×2）＝D（3）+D（3）+D（3）+D（2）+D（2）

＝3×D（3）+2×D（2）＝3×（2a﹣b）+2×1＝6a3﹣b+2．

＝D（3×3×3）﹣D（5×2×2）

＝D（3）+D（3）+D（3）﹣[D（5）+D（2）+D（2）]＝3×D（3）﹣[D（5）+2D（2）]

＝3×（2a﹣b）﹣[a+c+2×1]＝6a3﹣b﹣a﹣c2﹣＝5a3﹣b﹣c2﹣．

2．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣ 1，记为 i2＝﹣1，这个数 i叫做虚数单位，那么形如 a+bi（a，b

为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：

①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：

（2+i）+（3 4﹣i）＝（2+3）+（1 4﹣）i＝5 3﹣i；（3+i）i＝3i+i2＝3i1﹣．

②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称

这两个复数共轭，如 1+2i的共轭复数为 1 2﹣i．

根据材料回答：

（1）填空：i3＝　　，i4＝　　；

（2）求（2+i）2的共轭复数；

（3）已知（a+i）（b+i）＝1+3i，求 a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值．

【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1；

故答案为：﹣i，1．

（2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i，故（2+i）2的共轭复数是 3 4﹣i；

（3）∵（a+i）（b+i）＝ab 1+﹣（a+b）i＝1+3i，

∴ab 1﹣＝1，a+b＝3，解得 a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，

当a＝1，b＝2时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝1+4（﹣1﹣i+1+i…+1+i1﹣ ﹣i+1）＝1 4﹣i；

当a＝2，b＝1时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）＝4+1（﹣1﹣i+1+i…+1+i1﹣ ﹣i+1）＝4﹣i．

故a2+b2（i2+i3+i4…+i2020）的值为 4﹣i或者 1 4﹣i．

3．（雨花区校级月考）规定两数 a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果 ac＝b，则（a，b）＝c．我

们叫（a，b）为“雅对”．

例如：因为 23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）

＝（3，15）成立．证明如下：

设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则 3m＝3，3n＝5，

故3m3⋅n＝3m+n＝3×5＝15，

则（3，15）＝m+n，

即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．

（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　　；（5，1）＝　　；（3，27）＝　　．

（2）计算（5，2）+（5，7）＝　　，并说明理由．

（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数 n都成立．

【解答】解：（1）∵22＝4，∴（2，4）＝2；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵33＝27，

∴（3，27）＝3；故答案为：2，0，3；

（2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，则 5x＝2，5y＝7，∴5x+y＝5x•5y＝14，

∴（5，14）＝x+y，∴（5，2）+（5，7）＝（5，14），故答案为：（5，14）；

（3）设（2n，3n）＝x，则（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n，所以 2x＝3，即（2，3）＝x，

所以（2n，3n）＝（2，3）．

题型二：整式乘法的压轴题

4．（2021• 天心区开学）对于任意四个有理数 a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与

（c，d）．我们规定：（a，b）⊙（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）⊙（3，4）＝2×3 1×4﹣＝2．

根据上述规定解决下列问题：

（1）有理数对（3，﹣5）⊙（4，﹣2）＝　　；

（2）当满足等式（﹣2，3x1﹣）⊙（k，x+k）＝5+k的x是整数时，求正整数 k的值；

（3）若（s+2t，2s+t）⊙（x，﹣y）＝2t﹣s对于任意有理数 s，t均成立，求 x+y的值．

【解答】解：（1）根据题意得，原式＝﹣20+6＝﹣14，故答案为：﹣14．

（2）∵等式（﹣2，3x1﹣）⊙（k，x+k）＝5+k，且 x为整数，∴（3x1﹣）k﹣（﹣2）（x+k）＝

5+k，

∴（3k+2）x＝5，∴x＝，∵x是整数，∴3k+2＝±1 或±5，∵k是正整数，∴k＝1．

（3）∵（s+2t，2s+t）⊙（x，﹣y）＝2t﹣s，∴（2s+t）x﹣（s+2t）（﹣y）＝2t﹣s，

去括号，合并后（2x+y+1）s+（x+2y2﹣）t＝0，∵上式对于任意有理数 s，t均成立，

∴2x+y＝﹣1①，x+2y＝2②，∴（①+②）÷3 得：x+y＝．

5．（2020 秋•开福区月考）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（ x+4）（2x+5）（3x

6﹣）的结果是一个多项式，并且最高次项为： x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那

么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结她发现：一次项

系数就是： ×5×（﹣6）+2×4×（﹣6）+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x．

请你认真领会小东同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘

法法则的理解，解决以下问题．

（1）计算（x+2）（3x+1）（5x3﹣）所得多项式的一次项系数为　　．

（2）若计算（x2+x+1）（x23﹣x+a）（2x1﹣）所得多项式不含一次项，求 a的值．

（3）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则 a2020＝　　．

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