《2023学年八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题（人教版）》专题08 截长补短类压轴题真题分类（解析版）

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专题 08 截长补短类压轴题真题分类（解析版）

专题简介：本份资料把收集到的截长补短类压轴题细分为四种类型，其中把截长的技巧总结成三种

类型：作高截长、等边三角形中作平行线截长、在长边上硬截一段等于其中一条短边，基本覆盖了

各名校系常考的截长补短压轴题的主流考法。适合于培训机构的老师给学生作专题复习培训时使用

或者尖子生冲刺压轴题高分时刷题使用。

截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线

段。

补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得

较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，在 BF 上截取 BM=DF，易证

△BMC DFC≌△ （SAS），则

MC=FC=FG，∠BCM= DCF∠，

可得△MCF 为等腰直角三角形，又可证

∠CFE=45°，∠CFG=90°，

∠CFG= MCF∠，FG CM∥，可得四边形 CGFM 为

平行四边形，则 CG=MF，于是

BF=BM+MF=DF+CG.

如图所示，延长 GC 至N，使 CN=DF，易证

△CDF BCN≌△ （SAS），

可得 CF=FG=BN，∠DFC= BNC=135°∠，

又知∠FGC=45°，可证 BN FG∥，于是四边形 BFGN

为平行四边形，得 BF=NG，

所以 BF=NG=NC+CG=DF+CG.

题型一：作高截长

1.（雅礼）图 1，已知 Rt△ABC，∠B＝90°，以 AC 边作正方形 ACMD，过点 D 作 AB 边上的高 DE，交

AB 于 E 点。˜

⑴试证明：△DAE≌△ACB；

⑵若△ABC 为锐角三角形(如图 2)，则以 AC、BC 边作正方形 ACMD 和正方形 BCNG，分别过点 D、G 作

AB 边上的垂线 DE、GF，交 AB 于 E、F 两点，试比较线段 GF＋DE 与线段 AB 的大小，并说明理由。

解： (1) 证明： ∵四边形 ACMD 是正方形，

AD=CA，∠DAC=90°，∵∠B= E=90°∠，∴∠DAE+ CAB=90°∠，∠ACB+ CAB=90°∠，∴∠DAE= ACB∠，

∴△DAE ACB≌△ （AAS）；

(2)GF+DE=AB.证明：过点 C作CH AB⊥于点 H，同理(1)可得：△DAE ACH≌△ ，△GBF BCH≌△ ，

∴DE=AH，GF=BH，∴GF+DE=BH+CH=AB.

2.(师大博才)如图，，，，，垂足为 F.

(1)求证：；

(2)求∠FAE 的度数；

(3)求证： .(提示：可过 A作CD 的垂线段)

【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，

∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC 和△DAE 中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；

（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，

∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；

（3）延长 BF 到G，使得 FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，

在△AFB 和△AFG 中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，

∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，

∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，

在△CGA 和△CDA 中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，

∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．

题型二：等边三角形中作平行线截长

3.(广益)如图 1，已知△ABC 和△EFC 都是等边三角形，且点 E在线段 AB 上.

(1)过点 E作交 AC 于点 G，试判断△AEG 的形状并说明理由；

(2)求证：；

(3)如图 2，若点 D在射线 CA 上，且，求证： .

【解答】（1）证明：∵△ABC 和△EFC 都是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝∠ECF＝

60° ，AC ＝BC ，CE ＝FC ，∴∠ACE ＝ ∠ BCF ，在△ACE 与 △ FCB 中，， ∴

△ACE≌△FCB （SAS ）， ∴ ∠ A＝ ∠ CBF ＝60° ， ∵ ∠ ABC ＝60° ， ∴ ∠ A+∠ABC+∠CBF ＝

180°，∴∠A+∠ABF＝180°，∴AC∥BF；

（2）解：△AEG 是等边三角形，理由如下：如图 1所示：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠ABC

＝∠ACB＝60°，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC＝60°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEG＝

∠AGE＝60°，∴△AEG 是等边三角形；

（3）证明：如图 2，过 E作EM∥BC 交AC 于M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠ACB＝

60°，

∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEM＝∠AME＝60°，∴△AEM 是等边三角形，

∴AE＝EM＝AM，∴∠DAE＝∠EMC＝120°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠MCE，在△ADE 和△MCE 中，

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