《2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）》专题5.2 一次函数与正比例函数【七大题型】（举一反三）（浙教版）（解析版）

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专题 5.2 一次函数与正比例函数【七大题型】
【浙教版】
【题型 1 一次函数、正比例函数的识别】................................................................................................................1
【题型 2 利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】...........................................................................3
【题型 3 用待定系数法求一次函数解析式】...........................................................................................................5
【题型 4 用待定系数法求正比例函数解析式】.......................................................................................................7
【题型 5 一次函数解析式与三角形面积问题】.......................................................................................................8
【题型 6 求实际问题中的一次函数表达式】.........................................................................................................12
【题型 7 与求函数表达式相关的探究性问题】.....................................................................................................15
【知识点 1 一次函数和正比例函数的概念】
一般地，若两个变量 x，y间的关系可以表示成
y=kx+b
（k，b为常数，k
¿
0）的形式，则称 y是
x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数
y=kx+b
中的 b=0 时（即
y=kx
）（k为常数，k
¿
0），称 y是x的正比例函
数。
【题型 1 一次函数、正比例函数的识别】
【例 1】（2022 春•麻城市校级月考）下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）
y=−8
x
；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣
x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常数），其中一次函数的个数是（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据 y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）是一次函数，判断即可．
【解答】解：下列函数：（ 1）y＝﹣2x；（2）
y=−8
x
；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣x+1；（5）y＝
x2+1，（6）y＝kx+b（k是常数），其中一次函数的是：（1）y＝﹣2x；（4）y＝﹣x+1，
共有 2个，
故选：C．
【变式 1-1】（2022•市北区期中）下列语句中，y与x是一次函数关系的有（　　）个
（1）汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶，行驶路程 y（千米）与行驶时间 x（时）之间的关系
（2）圆的面积 y（厘米 2）与它的半径 x（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高 50 厘米，每个月长高 2厘米，x月后这棵树的高度为 y厘米，y与x的关系；
（4）某种大米的单价是 2.2 元/千克，当购买 x千克大米时，花费 y元，y与x的关系．
A．1 B．4 C．3 D．2
【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶，行驶路程 y（千米）与行驶时间 x（时）之间的关系，
是一次函数；
圆的面积 y（厘米 2）与它的半径 x（厘米）之间的关系，不是一次函数；
一棵树现在高 50 厘米，每个月长高 2厘米，y与x的关系，是一次函数；
某种大米的单价是 2.2 元/千克，当购买 x千克大米时，花费 y元，y与x的关系，是一次函数，
所以共 3个一次函数，
故选：C．
【变式 1-2】（2015 春•盱眙县校级期末）下列问题中，是正比例函数的关系的是（　　）
A．矩形面积一定，长与宽的关系
B．正方形面积和边长的关系
C．三角形面积一定，底边和底边上的高的关系
D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系
【分析】根据正比例函数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵S＝ab，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项错误；
B、∵S＝a2，∴正方形面积和边长是二次函数，故本选项错误；
C、∵S
¿1
2
ah，∴三角形的面积一定，底边和底边上的高是反比例关系，故本选项错误；
D、∵S＝vt，∴速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确．
故选：D．
【变式 1-3】（2022 春•北京期末）如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是 10cm，水面面积是
100cm2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒 0.2cm 的速度匀速增加．
容器注满水之前，容器内水面的高度 h，注水量 V随对应的注水时间 t的变化而变化，则 h与t，V与t
满足的函数关系分别是（　　）
A．正比例函数关系，正比例函数关系
B．正比例函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，正比例函数关系
【分析】根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而
判断出相应函数类型；根据注水量＝水面面积×水面上升的高度，即可得到 V与t满足的函数关系．
【解答】解：设容器内的水面高度为 h，注水时间为 t，根据题意得：
h＝0.2t+10，
∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．
V＝100×0.2t＝20t，
∴注水量 V与对应的注水时间 t满足的函数关系是正比例函数关系．
故选：D．
【题型 2 利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】
【例 2】（2022•平川区校级月考）当 m，n为何值时，y＝（m1﹣ ）
xm2+¿
n．
（1）是一次函数；
（2）是正比例函数．
【分析】（1）根据形如 y＝kx+b（k≠0，k是常数）是一次函数可得；
（2）根据形如 y＝kx+b（k≠0，k是常数，b＝0）是正比例函数可得．
【解答】解：（1）当 m2＝1且m1≠0﹣ 时，y＝（m1﹣ ）
xm2+¿
n是一次函数，
即：m＝﹣1．
答：当 m＝﹣1时，y＝（m1﹣ ）
xm2+¿
n是一次函数；
（2）当 m2＝1且m1≠0﹣ ，且 n＝0时，y＝（m1﹣ ）
xm2+¿
n是正比例函数，
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