《2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）》专题2.7 勾股定理的应用【八大题型】（举一反三）（浙教版）（解析版）

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专题 2.7 勾股定理的应用【八大题型】
【浙教版】
【题型 1 勾股定理之大树折断模型】........................................................................................................................1
【题型 2 勾股定理之风吹荷花模型】........................................................................................................................3
【题型 3 勾股定理之蚂蚁行程模型】........................................................................................................................5
【题型 4 勾股定理之方向角问题】............................................................................................................................8
【题型 5 勾股定理之梯子问题】..............................................................................................................................12
【题型 6 勾股定理之范围影响问题】......................................................................................................................14
【题型 7 勾股定理之选址使到两地距离相等】.....................................................................................................19
【题型 8 勾股定理应用之其他问题】.......................................................................................................................22
【题型 1 勾股定理之大树折断模型】
【例 1】（2022 春•上杭县期中）为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高
50m的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸
在距烟囱底部 10m的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上 　 24 　 米处折断．
【分析】根据题意设出从底部向上 x米处折断，则由题意可知另外两边分别为 50﹣x，10．利用勾股定
理列出方程进行求解．
【解答】解：设从底部向上 x米处折断，则另外两边分别为 50﹣x，10
故102+x2＝（50﹣x）2
解得 x＝24（米）
故烟囱应从底部向上 24 米处折断．
故答案为 24．
【变式 1-1】（2022 春•高安市月考）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面 6米B
处折断倒下，倒下后的树顶 C与树根 A的距离为 8米，则这棵大树在折断前的高度为（　　）
A．10 米B．12 米C．14 米D．16 米
【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的
和即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC 是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，
∴BC
¿❑
√
A B2+A C2=❑
√
62+82=¿
10（m），
∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．
故选：D．
【变式 1-2】（2022 春•乾安县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度 DE＝1m，将
它往前推送 4m（水平距离 BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度 BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很
直，求绳索 AD 的长度．
【分析】设秋千的绳索长为 xm，根据题意可得 AC＝（x1﹣ ）m，利用勾股定理可得 x2＝42+（x1﹣ ）2．
【解答】解：在 Rt△ACB 中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为 xm，则 AC＝（x1﹣ ）m，
故x2＝42+（x1﹣ ）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索 AD 的长度是 8.5m．
【变式 1-3】（2022 春•赤壁市期中）由于大风，山坡上的一棵树甲被从 A点处拦腰折断，如图所示，其树
顶端恰好落在另一棵树乙的根部 C处，已知 AB＝4米，BC＝13 米，两棵树的水平距离为 12 米，求这棵
树原来的高度．
【分析】首先构造直角三角形，进而求出 BD 的长，进而求出 AC 的长，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：延长 AB，过点 C作CD⊥AB 延长线于点 D，
由题意可得：BC＝13m，DC＝12m，
故BD
¿❑
√
1 32−1 22=¿
5（m），
即AD＝9m，
则AC
¿❑
√
A D2+C D2=❑
√
92+1 22=¿
15（m），
故AC+AB＝15+4＝19（m）．
答：这棵树原来的高度是 19 米．
【题型 2 勾股定理之风吹荷花模型】
【例 2】（2022 春•邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇 AB 生长
在它的中央，高出水面的部分 BC 为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶
端与岸齐，则芦苇高度是 　 13 　 尺．
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为 10 尺的正方形，则 B'C＝5尺，设出 AB＝
AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
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