《2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）》专题2.4 等腰三角形【八大题型】（举一反三）（浙教版）（解析版）

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专题 2.4 等腰三角形【八大题型】
【浙教版】
【题型 1 利用等腰三角形的性质求角度】........................................................................................................... 1
【题型 2 利用等腰三角形的性质求线段长度】.................................................................................................... 5
【题型 3 等腰三角形中的多结论问题】............................................................................................................... 8
【题型 4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】.............................................................................. 15
【题型 5 等腰三角形的证明】............................................................................................................................. 18
【题型 6 等腰三角形中的新定义问题】............................................................................................................. 24
【题型 7 等腰三角形中的规律问题】................................................................................................................. 27
【题型 8 等腰三角形中的动点问题】................................................................................................................. 29
【知识点 1 等腰三角形】
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上
的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型 1 利用等腰三角形的性质求角度】
【例 1】（2022•南关区校级开学）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为 60°，那么这个等腰三
角形的顶角等于（　　）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时
不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图，
高与左边腰成 60°夹角，由三角形内角和为 180°可得，顶角为 180° 90° 60°﹣ ﹣ ＝30°，
②当为钝角三角形时可画图，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为 180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为 30°，
∴三角形的顶角为 180° 30°﹣ ＝150°．
故选：D．
【变式 1-1】（2022 秋•南昌期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC
的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y，可得∠ABC＝2x+y，根据 MN＝BN，有∠BMN＝∠MBN＝
y，故∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x，又 AB＝AC，得∠C＝∠ABC＝2x+y，根据∠A+∠ABC+∠C＝
180°，得（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，即得 x+y＝60°，故∠MBC＝60°．
【解答】解：设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y，
∴∠ABC＝2x+y，
∵MN＝BN，
∴∠BMN＝∠MBN＝y，
∴∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x+y，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，
∴3x+3y＝180°，
∴x+y＝60°，
∴∠CBN+∠MBN＝60°，
即∠MBC＝60°，
故选：D．
【变式 1-2】（2022 春•柯桥区期末）在△ABC 中，已知 D为直线 BC 上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，
且AB＝AC＝CD，则 β与α之间不可能存在的关系式是（　　）
A．β＝90°
−3
2
α B．β＝180°
−3
2
α C．β
¿3
2α−90 °
D．β＝120°
−3
2
α
【分析】分点 D在线段 BC 上，在 BC 延长线上，在 CB 延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个
内角和及三角形内角和定理可求 β与α的等量关系式．
【解答】解：当点 D在线段 BC 上，
∵∠ABC＝α，CA＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝α，
∵CD＝CA，
∴∠ADC＝∠CAD
¿180°−∠C
2=¿
90°
−1
2
α，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴90°
−1
2
α＝α+β，
即β＝90°
−3
2
α；
当点 D在线段 BC 的延长线上，
同理可得：β＝180°
α；
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