《2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）》专题2.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】（举一反三）（浙教版）（解析版）

3.0 cande 2025-05-17 15 4 605.08KB 28 页 3知币

专题 2.3 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】

【浙教版】

【题型 1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】...........................................................................................1

【题型 2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】...............................................................................................6

【题型 3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】.............................................................................................10

【题型 4 线段垂直平分线的性质的综合运用】.....................................................................................................13

【题型 5 线段垂直平分线的判定】..........................................................................................................................17

【题型 6 线段垂直平分线的作法】..........................................................................................................................20

【题型 7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】.................................................................................................23

【知识点 1 线段垂直平分线的性质】

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这

条线段的垂直平分线上.

【题型 1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】

【例 1】（ 2022 秋 • 南召县期末）已知：如图， ∠ BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于点

P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为 E、F．若 AB＝8，AC＝4，则 AE＝　 6 　．

【分析】首先连接 PB，PC，由∠BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于点 P，PE⊥AB，PF⊥AC，

易得 PE＝PF，PB＝PC，继而证得△PBE≌△PCF，AE＝AF，又由 AB＝8，AC＝4，即可求得答案．

【解答】解：连接 PB，PC，

∵点 P在BC 的垂直平分线上，

∴PB＝PC，

∵AC 平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，

∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，

∴∠APE＝∠APF，

∴AE＝AF，

在Rt△PBE 和Rt△PCF 中，

{

PB=PC

PE=PF

，

∴Rt△PBE Rt≌ △PCF（HL），

∴BE＝CF，

∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF，

∴AB＝AC+CF+BE，

∵AB＝8，AC＝4，

∴BE＝CF＝2，

∴AE＝AC+CF＝6．

故答案为：6．

【变式 1-1】（2022 秋•潮安区期中）如图，在△ABC 中，∠ABC＝45°，CD⊥AB 于点 D，AC 的垂直平分

线BE 与CD 交于点 F，与 AC 交于点 E．

（1）判断△DBC 的形状并证明你的结论．

（2）求证：BF＝AC．

（3）试说明 CE

¿1

BF．

【分析】（1）根据已知条件得到∠BCD＝45°，求得 BD＝CD，于是得到结论；

（2）根据全等三角形的性质和判定即可得到结论；

（3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）△DBC 是等腰直角三角形，

理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，

∴∠BCD＝45°，

∴BD＝CD，

∴△DBC 是等腰直角三角形；

（2）∵BE⊥AC，

∴∠BDC＝∠BEC＝90°，

∵∠BFD＝∠CFE，

∴∠DBF＝∠ACD，

在△BDF 与△CDA 中，

{

∠BDC=∠ADC =90 °

∠DBF=∠DCA

BD =CD

，

∴△BDF≌△CDA，

∴BF＝AC；

（3）∵BE 是AC 的垂直平分线，

∴CE

¿1

AC，

∴CE

¿1

BF．

【变式 1-2】（2022 秋•庐阳区期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边 AB 的垂直平

分线交 AC 于点 D，点 F在AC 上，点 E在BC 的延长线上，CE＝CF，连接 BF，DE．线段 DE 和BF 在

数量和位置上有什么关系？并说明理由．

【分析】连接 BD，延长 BF 交DE 于点 G，根据线段的垂直平分线的性质得到 AD＝BD，求出∠CBD＝

45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．

【解答】解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：

连接 BD，延长 BF 交DE 于点 G．

∵点 D在线段 AB 的垂直平分线上，

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