《2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）》专题1.8 角度计算中的经典模型【八大题型】（浙教版）（解析版）

3.0 cande 2025-05-17 13 4 1.09MB 46 页 3知币

专题 1.8 角度计算中的经典模型【八大题型】

【浙教版】

【题型 1 双垂直模型】................................................................................................................................................1

【题型 2 A 字模型】...................................................................................................................................................7

【题型 3 8 字模型】...................................................................................................................................................10

【题型 4 飞镖模型】..................................................................................................................................................16

【题型 5 风筝模型】..................................................................................................................................................23

【题型 6 两内角角平分线模型】..............................................................................................................................29

【题型 7 两外角角平分线模型】..............................................................................................................................35

【题型 8 内外角角平分线模型】..............................................................................................................................39

【知识点 1 双垂直模型】

【条件】∠B= D= ACE=90°.∠ ∠

【结论】∠BAC= DCE∠，∠ACB= CED.∠

【证明】∵∠B= D= ACE=90°∠ ∠ ；∴∠BAC+ ACB=90°∠；又∠ECD+ ACB=90°∠；∴∠BAC= DCE∠

同理, ACB+ DCE∠ ∠ =90°，且∠CED+ DCE∠ =90°；∴∠ACB= CED∠，得证.

【题型 1 双垂直模型】

【例 1】（2022 春•建邺区期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D是AB 上一点，且∠ACD＝∠B．

（1）求证：CD⊥AB

证明：在 Rt△ABC 中，∵∠ACB＝90°（已知）

∴∠A+∠B＝90°（　直角三角形两锐角互余　）

又∵∠ACD＝∠B（已知）

∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）

∴∠ADC＝90° （　三角形内角和定理　）

∴CD⊥AB．

（2）如图②，若∠BAC 的平分线分别交 BC，CD 于点 E，F，求证：∠AEC＝∠CFE；

（3）如图③，若 E为BC 上一点，AE 交CD 于点 F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．

①求 S△CEF﹣S△ADF 的值；

②四边形 BDFE 的面积是　 21 　．

【分析】（1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理解答即可；

（2）根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAE，根据三角形的外角性质计算，证明结论；

（3）①根据三角形的面积公式分别求出 S△ACD、S△ACE，结合图形计算即可；

②连接 BF，设 S△ADF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，求出 x，把 x代入计算得到答案．

【解答】（1）证明：在 Rt△ABC 中，∵∠ACB＝90°（已知）

∴∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余）

又∵∠ACD＝∠B（已知）

∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）

∴∠ADC＝90° （三角形内角和定理），∴CD⊥AB．

故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；

（2）证明：∵AE 平分∠BAC，

∴∠CAE＝∠BAE，

∵∠AEC＝∠BAE+∠B，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，

∴∠AEC＝∠CFE；

（3）解：①∵BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36，

∴S△ACD

¿1

S△ABC＝9，S△ACE

¿1

S△ABC＝12，

∴S△CEF﹣S△ADF＝S△ACE﹣S△ACD＝12 9﹣ ＝3；

②连接 BF，

设S△ADF＝x，则 S△CFE＝3+x，

∵AB＝4AD，

∴S△BDF＝3x，

∵BC＝3CE，

∴S△BEF＝2（x+3）＝2x+6，

∴x+3+2x+6+3x

¿3

36，

解得，x＝3，

∴四边形 BDFE 的面积＝3x+2x+6＝21，

故答案为：21．

【变式 1-1】（2022 春•润州区期末）已知△ABC 中，∠ABC＝90°，BD 是AC 边上的高，AE 平分∠BAC，

分别交 BC、BD 于点 E、F．求证：∠BFE＝∠BEF．

【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠CAE，再根据等角的余角相等求出∠BEF＝∠AFD，然后

根据对顶角相等可得∠BFE＝∠AFD，等量代换即可得解．

【解答】证明：∵AE 平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE，

∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，

∴∠BAE+∠BEF＝∠CAE+∠AFD＝90°，

∴∠BEF＝∠AFD，

∵∠BFE＝∠AFD（对顶角相等），

∴∠BEF＝∠BFE

【变式 1-2】（2022•绥棱县校级期中）（1）如图①，△ABC 是锐角三角形，高 BD、CE 相交于点 H，找出

∠BHC 和∠A之间存在何种等量关系；

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