《2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）》专题1.6 角的平分线的性质【七大题型】（举一反三）（浙教版）（解析版）

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专题 1.6 角的平分线的性质【七大题型】
【浙教版】
【题型 1 作已知角的角平分线】................................................................................................................................1
【题型 2 角平分线的性质的应用】............................................................................................................................5
【题型 3 角平分线的性质与等积法】........................................................................................................................9
【题型 4 角平分线的性质与全等】..........................................................................................................................12
【题型 5 角平分线的判定】......................................................................................................................................18
【题型 6 角平分线的性质与判定综合】..................................................................................................................21
【题型 7 角平分线的实际应用】..............................................................................................................................24
【知识点 1 角平分线的作法】
①以 O为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于D，交 OB 于E.
②分别以 D、E为圆心，大于
1
2
DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C.
③画射线 OC.即射线 OC 即为所求.
【题型 1 作已知角的角平分线】
【例 1】（2022 秋•上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠AOB 画在方格
纸上，请在小方格的顶点上标出一个点 P．使点 P落在∠AOB 的平分线上． （本题有三个结果，答对
一个得 1分；若其中一个标错，本题得 0分，三个点分别用字母 C、D、E表示）
【分析】作出∠AOB 的平分线，找出角平分线与正方形的顶点的三个交点即可．
【解答】解：如图所示，
①以 O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交 OB、OA 于点 D、E；
②分别以 D、E为圆心，以大于
1
2
DE 为半径画圆，两圆相交于点 F；
③连接 OF，交各小正方形的顶点分别为 P1、P2、P3，则此三点即为所求．
本题答案不唯一．有三种结果如图中的 P1，P2，P3所示．
【变式 1-1】（2022 秋•瑶海区期末）如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线 AE，AE 交BC
于点 D，CD＝2，P为AB 上一动点，则 PD 的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
【分析】当 DP⊥AB 时，根据垂线段最短可知，此时 DP 的值最小．再根据角平分线的性质定理可得
DP＝CD 解决问题；
【解答】解：当 DP⊥AB 时，根据垂线段最短可知，此时 DP 的值最小．
由作图可知：AE 平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP＝CD＝2，
∴PD 的最小值为 2，
故选：A．
【变式 1-2】（2022•辽宁）如图，OG 平分∠MON，点 A，B是射线 OM，ON 上的点，连接 AB．按以下步
骤作图：①以点 B为圆心，任意长为半径作弧，交 AB 于点 C，交 BN 于点 D；②分别以点 C和点 D为
圆 心 ， 大 于
1
2
CD 长 为 半 径 作 弧 ， 两 弧 相 交 于 点 E； ③ 作 射 线 BE ， 交 OG 于 点 P． 若 ∠ ABN ＝
140°，∠MON＝50°，则∠OPB 的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】利用基本作图得到 BP 平分∠ABN，则可计算出∠PBN＝70°，再利用 OG 平分∠MON 得到
∠BOP＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠OPB 的度数．
【解答】解：由作法得 BP 平分∠ABN，
∴∠PBN
¿1
2
∠ABN
¿1
2
×
140°＝70°，
∵OG 平分∠MON，
∴∠BOP
∠MON
¿1
2
×
50°＝25°，
∵∠PBN＝∠POB+∠OPB，
∴∠OPB＝70° 25°﹣ ＝45°．
故选：B．
【变式 1-3】（2022 春•西乡县期末）如图，三角形 ABC 中，点 D在AC 上．
（1）请你过点 D作DE 平行 BC，交 AB 于E．（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）
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