《2023学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）》专题1.2 三角形内角和定理的运用【八大题型】（举一反三）（浙教版）（解析版）

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专题 1.2 三角形内角和定理的运用【八大题型】

【浙教版】

【题型 1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】...............................................................................................1

【题型 2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】...........................................................................................3

【题型 3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】...............................................................................................7

【题型 4 三角形内角和定理与折叠性质综合】.....................................................................................................10

【题型 5 三角形内角和定理与新定义问题综合】.................................................................................................14

【题型 6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】.........................................................................................18

【题型 7 判断直角三角形】......................................................................................................................................24

【题型 8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】.............................................................................................28

【知识点 1 三角形的内角及内角和定理】

三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于 0°且

小于 180°．三角形内角和定理：三角形内角和是 180°．

【题型 1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】

【例 1】（2021 秋•涡阳县期末）在△ABC 中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．

【分析】将第一个等式代入第二等式用∠ A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于 180°列方程求出

∠A，然后求解即可．

【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，

∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°，

由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，

所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°，

解得∠A＝45°．

【变式 1-1】（2022 春•武侯区校级期中）如图，点 E、D分别在 AB、AC 上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则

∠1+ 2∠＝　　°．

【分析】根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+ 2∠＝∠B+∠C，从而可求解．

【解答】解：∵∠1+ 2+∠ ∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，

∴∠1+ 2∠＝∠B+∠C，

∵∠B＝30°，∠C＝50°，

∴∠1+ 2∠＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°．

故答案为：80°．

【变式 1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC 中，AD 为边 BC 上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC 是

度．

【分析】分两种情况：△ABC 为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答．

【解答】解：当△ABC 为锐角三角形时，如图，

∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180° 30° 90°﹣ ﹣ ＝60°，

∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；

当△ABC 为钝角三角形时，如图，

∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180° 30° 90°﹣ ﹣ ＝60°，

∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60° 20°﹣＝40°．

综上所述，∠BAC＝80°或40°．

故答案为：80 或40．

【变式 1-3】（2022•南京模拟）已知 BD、CE 是△ABC 的高，直线 BD、CE 相交所成的角中有一个角为

45°，则∠BAC 等于　　．

【分析】根据三角形的内角和定理．分∠BAC 与这个 45°的角在一个四边形内，及∠BAC 与这个 45°的

角不在一个四边形内两种情况讨论．

【解答】解：若∠BAC 与这个 45°的角在一个四边形 BCDE 内，

因为 BD、CE 是△ABC 的高，设 BD 的延长线交 CE 的延长线于 O．

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，

∵∠O＝45°，

∴∠DAE＝180° 45°﹣＝135°

∴∠BAC＝∠DAE＝135°；

若∠BAC 与这个 45°的角不在一个四边形 BCDE 内，

因为 BD、CE 是△ABC 的高，

如图：∠BAC＝180°﹣（180° 45°﹣）＝45°，

所以∠BAC 等于 45 度．

若∠ACB 是钝角，∠A是锐角，

易知∠ABD＝40°，∠A＝45°

综上所述，∠A的值为 45°或135°．

故答案为：45°或135°．

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