《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项25 解分式方程（两大类型）（解析版）

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专项 25 解分式方程（两大类型）

【典例 1】（2022 秋•文登区期中）解方程：

（1）；（2）．

【解答】解：（1）去分母得：5（2x+1）＝x1﹣，

解得：x＝﹣ ，

检验：把 x＝﹣ 代入得：（x1﹣）（2x+1）≠0，

∴分式方程的解为 x＝﹣ ；

（2）去分母得：x（x+2）﹣x2+4＝8，

解得：x＝2，

检验：把 x＝2代入得：（x+2）（x2﹣）＝0，

∴x＝2是增根，分式方程无解．

【变式 1-1】（2022 秋•房山区期中）解方程：＝3．

【解答】解：去分母得：x+x4﹣＝3（x2﹣），

解得：x＝2，

检验：把 x＝2代入得：x2﹣＝0，

∴x＝2是增根，分式方程无解．

【变式 1-2】（2022 秋•莱州市期中）解分式方程：

（1） ﹣ ＝1 （2）3﹣＝．

【解答】解：（1）方程两边同乘（x+1）（ x1﹣），

得（x+1） 2+2＝（x+1）（ x1﹣），

解方程，得 x＝﹣2，

经检验，x＝﹣2是原方程的根；

（2）方程两边同乘以（x2﹣），

得3（x2﹣）﹣（x1﹣）＝﹣1，

解方程，得 x＝2，

经检验，x＝2是原方程的增根，原方程无解．

【变式 1-3】（2022 秋•岳阳县校级月考）解方程：

（1）；（2）．

【解答】解：（1），

﹣ ＝1，

方程两边都乘以 2x5﹣，得 x5﹣＝2x5﹣，

解得：x＝0，

检验：当 x＝0时，2x5≠0﹣，

所以 x＝0是原方程的解，

即原方程的解是 x＝0；

（2），

＝，

方程两边都乘 x（x+1）（x1﹣），得 2x＝x1﹣，

解得：x＝﹣1，

检验：当 x＝﹣1时，x（x+1）（x1﹣）＝0，

所以 x＝﹣1是增根，

即原方程无解．

【典例 2】（2022 春•泰和县期末）阅读下面材料，解答后面的问题

解方程：．

解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘 y得：y24﹣＝0，

解得：y＝±2，

经检验：y＝±2 都是方程的解，∴当 y＝2时，，解得：x＝﹣1，

当y＝﹣2时，，解得：x＝，经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，

∴原分式方程的解为 x＝﹣1或 x＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．

问题：

（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　；

（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　；

（3）模仿上述换元法解方程：．

【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为；

（2）将代入方程，则原方程可化为；

（3）原方程化为：，

设，则原方程化为：，

方程两边同时乘 y得：y21﹣＝0

解得：y＝±1，

经检验：y＝±1 都是方程的解．

当y＝1时，，该方程无解；

当y＝﹣1时，，解得：；

经检验：是原分式方程的解，

∴原分式方程的解为．

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