《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项21 因式分解常用方法（六大类型）（原卷版）

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专项 21 因式分解常用方法（六大类型）
类型一：提公因式法提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这
一点可用来检验是否漏项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项
的系数是正的．
类型二：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
类型三：先提公因式，再用公式法
类型四：先展开，再用公式法
类型五：十字相乘法
考点 2：十字相乘法
1. x² p qx pq （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即 c c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的
一次项系数 b ，即 a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与
a2 x c2 之积，即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) ．
类型六：分组分解法
【类型一：提公因式法提公因式】
【典例 1】（2021 春•罗湖区校级期末）因式分解：
（1）﹣20a15﹣ax； （2）（a3﹣）2﹣（2a6﹣）．
【变式 1-1】（2022•中山市三模）因式分解：3ax 9﹣ay＝　　．
【变式 1-2】（2022•滨海县模拟）将多项式 2a26﹣ab 因式分解为 　　．
【变式 1-3】（2019 秋•西城区校级期中）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
【变式 1-4】（2021 秋•虹口区校级月考）分解因式：x（a﹣b）+y（b﹣a）﹣3（b﹣a）．
【类型二：公式法】
【典例 2】（2021 秋•富裕县期末）因式分解：
（1） ． （2）（a2﹣b）2﹣（3a2﹣b）2．
【变式 2-1】（2022 春•来宾期末）把多项式 9a21﹣分解因式，结果正确的是（　　）
A．（3a1﹣）2B．（3a+1）2
C．（9a+1）（9a1﹣）D．（3a+1）（3a1﹣）
【变式 2-2】（2022•菏泽）分解因式：x29﹣y2＝　　．
【变式 2-3】（2021•槐荫区一模）分解因式：4a29﹣b2．
【变式 5-4】（2021 秋•闵行区期末）分解因式：（3m1﹣）2﹣（2m3﹣）2．
【考点 5 因式分解-完全平方】
【典例 3】（2022 春•攸县期末）分解因式：y2+4y+4＝（　　）
A．y（y+4）+4 B．（y+2）2C．（y2﹣）2D．（y+2）（y﹣
2）
【变式 3-1】（2022•河池）多项式 x24﹣x+4 因式分解的结果是（　　）
A．x（x4﹣）+4 B．（x+2）（x2﹣）C．（x+2）2D．（x2﹣）2
【变式 3-2】（2022•富阳区二模）分解因式 4y2+4y+1 结果正确的是（　　）
A．（2y+1）2B．（2y1﹣）2C．（4y+1）2D．（4y1﹣）2
【变式 3-3】（2020 秋•海淀区校级期中）分解因式（x21﹣）2+6（1﹣x2）+9．
【类型三：先提公因式，再用公式法】
【典例 4】（2022 春•巨野县期末）因式分解：
（1）x32﹣x2y+xy2
（2）a2（x3﹣y）+9b2（3y﹣x）
【变式 4-1】（2022 春•济阳区期末）因式分解：2x38﹣x2y+8xy2．
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