《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项21 因式分解常用方法（六大类型）（解析版）

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专项 21 因式分解常用方法（六大类型）

类型一：提公因式法提公因式

提公因式法的步骤：

第一步是找出公因式；

第二步是提取公因式并确定另一因式．

需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这

一点可用来检验是否漏项．

注意：

①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；

②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项

的系数是正的．

类型二：公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

常用的公式：

①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）

②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2

a2－2ab＋b2＝（a－b）2

类型三：先提公因式，再用公式法

类型四：先展开，再用公式法

类型五：十字相乘法

考点 2：十字相乘法

1. x² p qx pq  （x+p ）（x+q ）

2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，

即 a a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即 c c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，

c2 排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的

一次项系数 b ，即 a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与

a2 x c2 之积，即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) ．

类型六：分组分解法

【类型一：提公因式法提公因式】

【典例 1】（2021 春•罗湖区校级期末）因式分解：

（1）﹣20a15﹣ax；（2）（a3﹣）2﹣（2a6﹣）．

【解答】解：（1）﹣20a15﹣ax

＝﹣5a（4+3x）；

（2）（a3﹣）2﹣（2a6﹣）

＝（a3﹣）22﹣（a3﹣）

＝（a3﹣）（a5﹣）．

【变式 1-1】（2022•中山市三模）因式分解：3ax 9﹣ay＝　　．

【答案】3 a （ x 3﹣ y ）

【解答】解：原式＝3a（x3﹣y）．

故答案为：3a（x3﹣y）．

【变式 1-2】（2022•滨海县模拟）将多项式 2a26﹣ab 因式分解为　　．

【答案】2 a （ a 3﹣ b ）

【解答】解：原式＝2a（a3﹣b）．

故答案为：2a（a3﹣b）．

【变式 1-3】（2019 秋•西城区校级期中）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）

【解答】解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）

＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）

＝（a﹣b）（2m+3n）．

【变式 1-4】（2021 秋•虹口区校级月考）分解因式：x（a﹣b）+y（b﹣a）﹣3（b﹣a）．

【解答】解：原式＝x（a﹣b）﹣y（a﹣b）+3（a﹣b）＝（a﹣b）（x﹣y+3）．

【类型二：公式法】

【典例 2】（2021 秋•富裕县期末）因式分解：

（1）．（2）（a2﹣b）2﹣（3a2﹣b）2．

【解答】解：（1）原式＝52﹣（）2＝（5+ m）（5﹣m）．

（2）（a2﹣b）2﹣（3a2﹣b）2

＝（a2﹣b+3a2﹣b）（a2﹣b3﹣a+2b）

＝（4a4﹣b）•（﹣2a）

＝﹣8a（a﹣b）．

【变式 2-1】（2022 春•来宾期末）把多项式 9a21﹣分解因式，结果正确的是（　　）

A．（3a1﹣）2B．（3a+1）2

C．（9a+1）（9a1﹣）D．（3a+1）（3a1﹣）

【答案】D

【解答】解：9a21﹣＝（3a）21﹣＝（3a1﹣）（3a+1）．

故选：D．

【变式 2-2】（2022•菏泽）分解因式：x29﹣y2＝　　．

【答案】（ x 3﹣ y ）（ x +3 y ）

【解答】解：原式＝（x3﹣y）（x+3y）．

故答案为：（x3﹣y）（x+3y）．

【变式 2-3】（2021•槐荫区一模）分解因式：4a29﹣b2．

【解答】解：4a29﹣b2＝（2a+3b）（2a3﹣b）．

【变式 5-4】（2021 秋•闵行区期末）分解因式：（3m1﹣）2﹣（2m3﹣）2．

【解答】解：原式＝[（3m1﹣）+（2m3﹣）][（3m1﹣）﹣（2m3﹣）]＝（5m4﹣）

（m+2）．

【考点 5 因式分解-完全平方】

【典例 3】（2022 春•攸县期末）分解因式：y2+4y+4＝（　　）

A．y（y+4）+4 B．（y+2）2C．（y2﹣）2D．（y+2）（y﹣

2）

【答案】B

【解答】解：y2+4y+4＝（y+2）2，

故选：B．

【变式 3-1】（2022•河池）多项式 x24﹣x+4 因式分解的结果是（　　）

A．x（x4﹣）+4 B．（x+2）（x2﹣）C．（x+2）2D．（x2﹣）2

【答案】D

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