《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项20 平方差公式的几何背景（三大类型）（原卷版）

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专项 20 平方差公式的几何背景（三大类型）
【典例 1】（2022 秋•永春县期中）如图，在边长为 a的正方形中挖掉一个边长为 b的小正
方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，
验证了一个等式，则这个等式是（　　）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a22﹣ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【变式 1-1】（2022 春•市中区校级月考）如图，从边长为（a+4）cm 的正方形纸片中剪去
一个边长为（a+2）cm 的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠
无缝隙），则矩形的面积为（　　）
A．（2a2+5a）cm2B．（3a+15）cm2
C．（4a+12）cm2D．（6a+15）cm2
【变式 1-2】（2022 春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能
根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　）
A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a22﹣ab+b2D．（2a﹣b）2＝4a24﹣ab+b2
【典例 2】（2022 春•天桥区校级期中）从边长为 a的正方形剪掉一个边长为 b的正方形
（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．
（1）上述操作能验证的等式是 　 　 ；
（2）若 x29﹣y2＝12，x+3y＝4，求 x3﹣y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
【变式 2】（2022 春•咸阳月考）如图，图 1为边长为 a的大正方形中有一个边长为 b的小
正方形，图 2是由图 1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图 1中阴影部分面积为 S1，图 2中阴影部分面积为 S2，请用含 a、b的代数式表
示：S1＝　 　 ，S2＝　 　 ；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 　 ；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：202222021×2023﹣．
【典例 3】（2022 春•宝安区期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推
导和验证．如图①，从边长为 a的正方形中挖去一个边长为 b的小正方形后，将其沿虚
线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）．
（1）通过计算图①和 图 ②中阴影部分的面积，可以验证的公式是：　 ＝
．
（2）小明在计算（2+1）（22+1）（24+1）时利用了（1）中的公式：
（2+1）（221﹣）（24+1）
＝（2 1﹣）（2+1）（22+1）（24+1）
＝　 ．
（请你将以上过程补充完整．）
（3）利用以上的结论和方法、计算： +（3+1 ） （ 32+1 ） （ 34+1 ） （ 38+1 ）
（316+1）．
【变式 3】（2021 春•高明区期末）如图 1所示，边长为 a的正方形中有一个边长为 b的小
正方形，图 2是由图 1中阴影部分拼成的一个长方形，设图 1中阴影部分面积为 S1，图
2中阴影部分面积为 S2．
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