《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项20 平方差公式的几何背景（三大类型）（解析版）

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专项 20 平方差公式的几何背景（三大类型）
【典例 1】（2022 秋•永春县期中）如图，在边长为 a的正方形中挖掉一个边长为 b的小正
方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，
验证了一个等式，则这个等式是（　　）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a22﹣ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【解答】解：∵左图阴影的面积是 a2﹣b2，
右图的阴影的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【变式 1-1】（2022 春•市中区校级月考）如图，从边长为（a+4）cm 的正方形纸片中剪去
一个边长为（a+2）cm 的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠
无缝隙），则矩形的面积为（　　）
A．（2a2+5a）cm2B．（3a+15）cm2
C．（4a+12）cm2D．（6a+15）cm2
【答案】C
【解答】解：（a+4）2﹣（a+2）2＝a2+8a+16﹣（a2+4a+4），
＝（4a+12）2cm2，
故选：C．
【变式 1-2】（2022 春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能
根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　）
A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a22﹣ab+b2D．（2a﹣b）2＝4a24﹣ab+b2
【答案】A
【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为（a+b）（a﹣b），
图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即 a2﹣b2，
因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：A．
【典例 2】（2022 春•天桥区校级期中）从边长为 a的正方形剪掉一个边长为 b的正方形
（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．
（1）上述操作能验证的等式是 　 　 ；
（2）若 x29﹣y2＝12，x+3y＝4，求 x3﹣y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
【解答】解：（1）图 1阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即 a2﹣b2，
图2是长为 a+b，宽为 a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由图 1、图 2阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）∵x29﹣y2＝12，即（x+3y）（x3﹣y）＝12，而 x+3y＝4，
∴x3﹣y＝12÷4＝3，
答：x3﹣y的值为 3；
（3）原式＝（1﹣）（1+ ）（1﹣）（1+ ）（1﹣）（1+ ）…（1﹣）
（1+ ）（1﹣）（1+ ）
＝× × × × × ×…× × × ×
＝×
＝ ．
【变式 2】（2022 春•咸阳月考）如图，图 1为边长为 a的大正方形中有一个边长为 b的小
正方形，图 2是由图 1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图 1中阴影部分面积为 S1，图 2中阴影部分面积为 S2，请用含 a、b的代数式表
示：S1＝　 　 ，S2＝　 　 ；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 　 ；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：202222021×2023﹣．
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