《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项19 完全平方公式的几何背景（两大类型）（原卷版）

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专项 19 完全平方公式的几何背景（两大类型）
【典例 1】（2022 秋•南昌县期中）如图 1所示是一个长为 2m，宽为 2n的长方形，沿虚线
用剪刀均分成四个小长方形，然后按图 2的方式拼成一个正方形．
（1）图 2中的阴影部分的正方形的边长等于 　 　 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图 2中阴影部分的面积：方法①　 ；方
法②　 ；
（3）观察图 2，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn 这三个代数式之间的等量关系；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若 a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．
【变式 1-1】（2022 春•玄武区校级期中）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积 ，
我们可以验证等式（　　）
A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2
D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2
【变式 1-2】（2022 秋•渝中区校级月考）如图，两个正方形边长分别为 a，b，已知 a+b＝
7，ab＝9，则阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．1 1 C．12 D．13
【变式 1-3】（2022 春•阜宁县期末）图 1，是一个长为 2m、宽为 2n（m＞n）的长方形，
用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后
按图 2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　）
A．mn B．m2﹣n2C．（m﹣n）2D．（m+n）2
【典例 2】（2022 春•双流区校级期中）著 x满足（9﹣x）（x4﹣）＝4，求（4﹣x）2+（x
9﹣）2的值．
解：设 9﹣x＝a，x4﹣＝b，则（9﹣x）（x4﹣）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x4﹣）＝
5，
∴（9﹣x）2+（x4﹣）2＝a2+b2＝（a+b）22﹣ab＝522×4﹣＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若 x满足（7﹣x）（x2﹣）＝2，求（7﹣x）2+（x2﹣）2的值；
（2）（n2021﹣）2+（n2022﹣）2＝11，求（n2021﹣）（2022﹣n）；
（3）已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F分别是 AD、DC 上的点，且 AE＝2，CF＝
6，长方形 EMFD 的面积是 192，分别以 MF、DF 作正方形，求阴影部分的面积．
【变式 2】（2022 春•盐都区月考）阅读理解：若 x满足（30﹣x）（x10﹣）＝160，求
（30﹣x）2+（x10﹣）2的值．
解：设 30﹣x＝a，x10﹣＝b，则（30﹣x）（x10﹣）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x
10﹣）＝20，（30﹣x）2+（x10﹣）2＝a2+b2＝（a+b）22﹣ab＝2022×160﹣＝80
解决问题：
（1）若 x满足（2020﹣x）（x2016﹣）＝2，则（2020﹣x）2+（x2016﹣）2＝　 ；
（2）若 x满足（x2022﹣）2+（x2018﹣）2＝202，求（x2022﹣）（x2018﹣）的值；
（3）如图，在长方形 ABCD 中，AB＝16，BC＝12，点 E．F是BC、CD 上的点，且 BE
＝DF＝x，分别以 FC、CE 为边在长方形 ABCD 外侧作正方形 CFGH 和CEMN，若长方
形CEPF 的面积为 100 平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　 　 平方单位．
1．（2022 春•盱眙县期中）如图，点 C是线段 BG 上的一点，以 BC，CG 为边向两边作正
方形，面积分别是 S1和S2，两正方形的面积和 S1+S2＝20，已知 BG＝6，则图中阴影部
分面积为（　　）
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