《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项19 完全平方公式的几何背景（两大类型）（解析版）

3.0 cande 2025-05-17 18 4 251.47KB 15 页 3知币
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专项 19 完全平方公式的几何背景（两大类型）
【典例 1】（2022 秋•南昌县期中）如图 1所示是一个长为 2m，宽为 2n的长方形，沿虚线
用剪刀均分成四个小长方形，然后按图 2的方式拼成一个正方形．
（1）图 2中的阴影部分的正方形的边长等于 　 　 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图 2中阴影部分的面积：方法①　 ；方
法②　 ；
（3）观察图 2，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn 这三个代数式之间的等量关系；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若 a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．
【解答】解：（1）由拼图可知，图②中阴影部分的边长为 m﹣n，
故答案为：m﹣n；
（2）阴影部分是边长为 m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，
阴影部分的面积可以看作从边长为 m+n的正方形面积中减去 4个长为 m，宽 n的长方形
面积，即（m+n）24﹣mn，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）24﹣mn；
（3）由（2）中两种方法所表示的图形的面积相等，可得，
（m﹣n）2＝（m+n）24﹣mn；
（4）∵a+b＝8，ab＝5，
∴（a﹣b）2＝（a+b）24﹣ab
＝64 20﹣
＝44
【变式 1-1】（2022 春•玄武区校级期中）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积 ，
我们可以验证等式（　　）
A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2
B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2
C．（a+b）（a+2b）＝2a2+3ab+b2
D．（a+b）（2a+b）＝a2+3ab+2b2
【答案】A
【解答】解：整体是长为 a+2b，宽为 a+b的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b），
整体是由 6个部分的面积和，即 a2+3ab+2b2，
因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
故选：A．
【变式 1-2】（2022 秋•渝中区校级月考）如图，两个正方形边长分别为 a，b，已知 a+b＝
7，ab＝9，则阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．1 1 C．12 D．13
【答案】B
【解答】解：根据题意可得，
S阴＝a²﹣ ﹣
＝ （a²﹣ab+b²）
＝[（a+b）² 3﹣ab]，
把a+b＝7，ab＝9代入上式，
则S阴＝×（723×9﹣）＝11．
故选：B．
【变式 1-3】（2022 春•阜宁县期末）图 1，是一个长为 2m、宽为 2n（m＞n）的长方形，
用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后
按图 2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　）
A．mn B．m2﹣n2C．（m﹣n）2D．（m+n）2
【答案】C
【解答】解：方法一：
图2中四个长方形的面积的和＝图 1的长方形的面积＝2m×2n＝4mn，
图2的大正方形的面积＝（m+n）2，
图2中阴影部分的面积＝图 2的大正方形的面积﹣图 2中四个长方形的面积的和
＝（m+n）24﹣mn
＝m2+2mn+n24﹣mn
＝m22﹣mn+n2
＝（m﹣n）2．
方法二：
图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（m﹣n），
∴阴影部分的面积＝（m﹣n）2．
故选：C．
【典例 2】（2022 春•双流区校级期中）著 x满足（9﹣x）（x4﹣）＝4，求（4﹣x）2+（x
9﹣）2的值．
解：设 9﹣x＝a，x4﹣＝b，则（9﹣x）（x4﹣）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x4﹣）＝
5，
∴（9﹣x）2+（x4﹣）2＝a2+b2＝（a+b）22﹣ab＝522×4﹣＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若 x满足（7﹣x）（x2﹣）＝2，求（7﹣x）2+（x2﹣）2的值；
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