《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项16 轴对称之将军饮马模型（解析版）

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专项 16 轴对称之将军饮马模型
基本图模
1.
已知：如图，定点 A、B 分布在定直线 l 两侧；
要求：在直线 l 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小
解：连接 AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求,
PA+PB 的最小值即为线段 AB 的长度
理由：在 l 上任取异于点 P 的一点 P´，连接 AP´、BP´，
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即 AP´+BP´>AP+BP
∴P 为直线 AB 与直线 l 的交点时，PA+PB 最小.
2.
已知：如图，定点 A 和定点 B 在定直线 l 的同侧
要求：在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 值最小
（或△ABP 的周长最小）
解：作点 A 关于直线 l 的对称点 A´，连接 A´B 交 l 于 P，
点 P 即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线 l 为线段 AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使 PA+PB 最小，则
需 PA´+PB 值最小，从而转化为模型 1.
方法总结：
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.
【典例 1】（2022 春•漳州期末）如图，要在街道 l设立一个牛奶站 O，向居民区 A，B提
供牛奶，下列设计图形中使 OA+OB 值最小的是（　　）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：作点 A关于直线 l的对称点 A′，连接 A′B交直线 l于点 O，则点 O即为所
求点．
故选：D．
【变式 1】（2021 春•成都期末）如图，点 A，B在直线 l的同侧，在直线 l上找一点 P，使
PA+PB 最小，则下列图形正确的是（　　）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：∵点 A，B在直线 l的同侧，
∴作 A点关于 l的对称点 A'，连接 A'B与l的交点为 P，
由对称性可知 AP＝A'P，
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，
故选：B．
【典例 2】（2022 春•埇桥区校级期末）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝
8，AB＝10，BD 平分∠ABC，如果点 M，N分别为 BD，BC 上的动点，那么 CM+MN 的
最小值是（　　）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：如图所示：
过点 C作CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M，
过点 M作MN⊥BC 于点 N，
∵BD 平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝ •AB•CE＝ •AC•BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8．
即CM+MN 的最小值是 4.8，
故选：B．
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