《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项12 角平分线+垂直构造全等模型综合应用（解析版）

3.0 cande 2025-05-17 12 4 533.66KB 18 页 3知币

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专项 12 角平分线+垂直构造全等模型综合应用

角平分线＋垂直构造全等模型：

【典例 1】（秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM 是∠AOB 的平分线，将三角尺

的直角顶点 P在射线 OM 上滑动，两直角边分别与 OA，OB 交于点 C和D，证明：PC＝

PD．

【答案】略

【解答】证明：过点 P点作 PE⊥OA 于E，PF⊥OB 于F，如图，

∴∠PEC＝∠PFD＝90°，

∵OM 是∠AOB 的平分线，

∴PE＝PF，

∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，

∴∠PCE+∠PDO＝360° 90° 90°﹣ ﹣ ＝180°，

秘籍：往角两边作垂线

解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构

造全等

而∠PDO+∠PDF＝180°，

∴∠PCE＝∠PDF，

在△PCE 和△PDF 中，

∴△PCE≌△PDF（AAS），

∴PC＝PD．

【变式 1-1】（秋•江北区期末）如图，D是∠EAF 平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝

180°，请说明 CD＝DB 的理由．

【答案】略

【解答】解：过点 D分别作 AE，AF 的垂线，交 AE 于M，交 AF 于N

则∠CMD＝∠BND＝90°，

∵AD 是∠EAF 的平分线，

∴DM＝DN，

∵∠ACD+∠ABD＝180°，

∠ACD+∠MCD＝180°，

∴∠MCD＝∠NBD，

在△CDM 和△BDN 中，

∠CMD＝∠BND＝90°，

∠MCD＝∠NBD，

DM＝DN，

∴△CDM≌△BDN，

∴CD＝DB．

【变式 1-2 】（秋 • 百色期末）如图， △ ABC 中， AD 平分 ∠ BAC ，DG⊥BC 且平分

BC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F．

（1）说明 BE＝CF 的理由；

（2）如果 AB＝5，AC＝3，求 AE、BE 的长．

【答案】（1）略（2）BE＝1，AE＝4．

【解答】（1）证明：连接 BD，CD，

∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，

∵DG⊥BC 且平分 BC，

∴BD＝CD，

在Rt△BED 与Rt△CFD 中，

，

∴Rt△BED Rt≌ △CFD（HL），

∴BE＝CF；

（2）解：在△AED 和△AFD 中，

，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE＝AF，

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