《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项11 用截长补短法构造全等三角形综合应用（解析版）

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专项 11 用截长补短法构造全等三角形综合应用

截长补短法原理：

延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接

相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，利用中线的

性质、辅助线、对顶角一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。（在一定

范围中）

【典例 1】（2020 秋•富县期末）如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB＞AC，求证：AB﹣

AC＞BD﹣CD．

【答案】略

【解答】证明：如图，在 AB 上截取 AE＝AC，连接 DE，

∵AD 是△ABC 的角平分线，

∴∠CAD＝∠EAD．

截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线

段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短：1.延长短边；2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起

在△ADC 和△ADE 中，

∴△ADC≌△ADE（SAS）．

∴DC＝DE．

∵在△BDE 中，BE＞BD﹣ED，

∵AB﹣AE＝BE，

∴AB﹣AC＞BD﹣CD．

【变式 1】（2020 秋•顺庆区校级期中）如图：锐角△ABC 中，∠C＝2∠B，AD 是高，求

证：AC+CD＝BD．

【答案】略

【解答】解：甲：截长法，如图 1，在 DB 上截取 DE＝DC，连 AE，

∵DE＝DC，AD⊥BC，

∴AE＝AC，

∴∠AEC＝∠C，且∠C＝2∠B，

∴∠AEC＝∠B，且∠AEC＝∠B+∠BAE，

∴∠B＝∠BAE，

∴AE＝BE＝AC，

∴BD＝BE+DE＝AC+CD

【变式 2】如图所示，在△ABC 中，∠1＝∠2，AB＝AC+CD．试判断∠B与∠C之间的关

系．

【答案】∠C＞∠B

【解答】解：（1）在 AB 上截取 AE＝AC，连接 DE，如图 1，

在△ADE 与△ADC 中，

，

∴△ADE≌△ADC（SAS），

∴∠AED＝∠C，ED＝CD，

∵AB＝AC+CD，

∴AB＝AE+BE＝AC+CD＝AC+ED，

∴BE＝ED，

∴∠AED＝2∠B，

∴∠AEC＝2∠B，

∴∠C＞∠B；

【典例 2】把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形 ACBD 以D为顶点作

∠MDN，交边 AC、BC 于M、N．

（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN 绕点 D旋转时，AM、MN、BN 三条线

段之间有何种数量关系？证明你的结论；

（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的

结论；

（3）如图③，在（2）的条件下，若将 M、N改在 CA、BC 的延长线上，完成图 3，其

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