《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项10 用倍长中线法构造全等三角形综合应用（原卷版）

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专项 10 用倍长中线法构造全等三角形综合应用
△ABC 中 , AD 是BC 边中线
方式 1：直接倍长 延长 AD 到E，使 DE=AD，连接 BE
方式 2：间接倍长
（1）作 CF⊥AD 于 F，作 BE⊥AD 的延长线于 E （2）延长 MD 到 N，使 DN=MD，连接 CN
倍长中线法原理：
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接
相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的
性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定
范围中）
【典例 1】（2021 春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
D
A
B
C
E
D
A
B
C
F
D
C
N
D
C
B
A
M
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的
顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、
辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围
中）
如图 1，△ABC 中，若 AB＝8，AC＝6，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围．小明在组内
经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，请根据小明的
方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB 的理由是 　 　．
A．SSS　　　　　　B．SAS　　　　　　C．AAS　　　　　　　　D．HL
（2）求得 AD 的取值范围是 　 　．
A．6＜AD＜8　　　B．6≤AD≤8　　C．1＜AD＜7　　D．1≤AD≤7
（3）如图 2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E，交 AD 于F，且 AE＝EF．
求证：AC＝BF．
【变式 1-1】（2021 秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为 5和9，设第三边上的中
线长为 x，则 x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7
【变式 1-2】（2019 秋•贵港期中）如图，AE 是△ABD 的中线 AB＝CD＝BD．
求证：AB+AD＞2AE；
【变式 1-3】（2021 秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC 中，若 AB＝
6，AC＝4，点 D为BC 边的中点，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围．解决此问题可以
用如下方法：延长 AD 到点 E使DE＝AD，再连接 BE，可证△ACD≌△EBD，从而把
AB、AC，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线 AD 的取值范围
是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC 中，点 D是BC 的中点，DE⊥DF 于点 D，DE 交AB 于点 E，DF 交
AC 于点 F，连接 EF，判断 BE+CF 与EF 的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AF 与DC 的延长线交于点 F、点 E是BC 的中
点，若 AE 是∠BAF 的角平分线．试探究线段 AB，AF，CF 之间的数量关系，并加以证
明．
1．（2021 秋•新城区校级期中）已知 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线，AB＝12，AC＝8，
则中线 AD 的取值范围是（　　）
A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不对
2．（2021 秋•南充期末）如图，AD 是△ABC 的中线，F为AD 上一点，E为AD 延长线上
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