《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项10 用倍长中线法构造全等三角形综合应用（解析版）

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专项 10 用倍长中线法构造全等三角形综合应用
△ABC 中 , AD 是BC 边中线
方式 1：直接倍长 延长 AD 到E，使 DE=AD，连接 BE
方式 2：间接倍长
（1）作 CF⊥AD 于 F，作 BE⊥AD 的延长线于 E （2）延长 MD 到 N，使 DN=MD，连接 CN
倍长中线法原理：
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接
相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的
性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定
范围中）
【典例 1】（2021 春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
D
A
B
C
E
D
A
B
C
F
D
C
N
D
C
B
A
M
延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的
顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、
辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围
中）
如图 1，△ABC 中，若 AB＝8，AC＝6，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围．小明在组内
经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，请根据小明的
方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB 的理由是 　 　．
A．SSS　　　　　　B．SAS　　　　　　C．AAS　　　　　　　　D．HL
（2）求得 AD 的取值范围是 　 　．
A．6＜AD＜8　　　B．6≤AD≤8　　C．1＜AD＜7　　D．1≤AD≤7
（3）如图 2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E，交 AD 于F，且 AE＝EF．求证：AC
＝BF．
【解答】（1）解：∵在△ADC 和△EDB 中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选 B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE 中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8 6﹣＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选 C．
（3）证明：
延长 AD 到M，使 AD＝DM，连接 BM，
∵AD 是△ABC 中线，
∴BD＝DC，
∵在△ADC 和△MDB 中
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
【变式 1-1】（2021 秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为 5和9，设第三边上的中
线长为 x，则 x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7
【答案】D
【解答】解：如图，AB＝5，AC＝9，AD 为BC 边的中线，
延长 AD 到E，使 AD＝DE，连接 BE，CE，
∵AD＝x，
∴AE＝2x，
在△BDE 与△CDA 中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
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