《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项09 平行+线段中点构造全等模型综合应用（原卷版）

3.0 cande 2025-05-17 4 4 213.47KB 6 页 3知币

专项 09 平行+线段中点构造全等模型综合应用

【结论】如图，AB∥CD，点 E、F 分别在直线 AB、CD 上，点 O 为 EF

中点，则△POE≌△QOF

口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行

【典例 1】（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．

已知：如图 1，DE 是△ABC 的中位线．求证：　　．

证明：

（2）问题解决：如图 2，在正方形 ABCD 中，E为AD 的中点，G、F分别为 AB、CD

边上的点，若 AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求 GF 的长．

【变式 1-1】已知：AD 是△ABC 的角平分线，点 E为直线 BC 上一点，BD＝DE，过点 E作

EF∥AB 交直线 AC 于点 F，当点 F在边 AC 的延长线上时，如图①易证 AF+EF＝AB；

当点 F在边 AC 上，如图②；当点 F在边 AC 的延长线上，AD 是△ABC 的外角平分线

时，如图③．写出 AF、EF 与AB 的数量关系，并对图②进行证明．

【变式 1-2 】如图，四边形 ABDC 中，∠D＝ ∠ ABD ＝90° ，点 O为BD 的中点，且

OA⊥OC．

（1）求证：CO 平分∠ACD；

（2）求证：AB+CD＝AC．

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