《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项09 平行+线段中点构造全等模型综合应用（解析版）

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专项 09 平行+线段中点构造全等模型综合应用

【结论】如图，AB∥CD，点 E、F 分别在直线 AB、CD 上，点 O 为 EF

中点，则△POE≌△QOF

口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行

【典例 1】（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．

已知：如图 1，DE 是△ABC 的中位线．求证：　　．

证明：

（2）问题解决：如图 2，在正方形 ABCD 中，E为AD 的中点，G、F分别为 AB、CD

边上的点，若 AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求 GF 的长．

【解答】（1）已知：如图 1，DE 是△ABC 的中位线．求证：DE∥BC，DE＝BC，

证明：过点 C作CF∥BA 交DE 的延长线于点 F，

∴∠A＝∠ACF，∠F＝∠ADF，

∵点 E是AC 的中点，

∴AE＝EC，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴DE＝EF＝DF，AD＝CF，

∵点 D是AB 的中点，

∴AD＝DB，

∴DB＝CF，

∴四边形 DBCF 是平行四边形，

∴DF∥BC，DF＝BC，

∴DE∥BC，DE＝BC，

故答案为：DE∥BC，DE＝BC；

（2）延长 GE，CD 交于点 H，

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠A＝∠ADH，∠AGE＝∠H，

∵点 E是AD 的中点，

∴AE＝DE，

∴△AGE≌△DHE（AAS），

∴AG＝DH＝3，GE＝EH，

∵DF＝4，

∴FH＝DH+DF＝7，

∵∠GEF＝90°，

∴FE 是GH 的垂直平分线，

∴GF＝FH＝7，

∴GF 的长为 7．

【变式 1-1】已知：AD 是△ABC 的角平分线，点 E为直线 BC 上一点，BD＝DE，过点 E作

EF∥AB 交直线 AC 于点 F，当点 F在边 AC 的延长线上时，如图①易证 AF+EF＝AB；

当点 F在边 AC 上，如图②；当点 F在边 AC 的延长线上，AD 是△ABC 的外角平分线

时，如图③．写出 AF、EF 与AB 的数量关系，并对图②进行证明．

【解答】（1）证明：如图①，延长 AD、EF 交于点 G，

∵AD 平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵EF∥AB，

∴∠G＝∠BAD，

∴∠G＝∠CAD，

∴FG＝AF，

在△ABD 和△GED 中，

，

∴△ABD≌△GED（AAS），

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