《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项08 对角互补模型综合应用（原卷版）

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专项 08 对角互补模型综合应用

应用：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。

【类型一：三角形中的互补模型模型】

【典例 1】（1）如图（1），在△ABC 中，D是BC 边上的中点，DE⊥DF，DE 交AB 于点

E，DF 交AC 于点 F，连接 EF．若∠A＝90°，探索线段 BE、CF、EF 之间的数量关系，

并加以证明；

（2）如图（2），在四边形 ABDC 中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以

D为顶点作一个 60°角，角的两边分别交 AB、AC 于E、F两点，连接 EF，探索线段

BE、CF、EF 之间的数量关系，并加以证明．

【变式 1】（1）阅读理解：

如图①，在△ABC 中，若 AB＝5，AC＝3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：

延长 AD 到点 E使DE＝AD，再连接 BE，这样就把 AB，AC，2AD 集中在△ABE 中，利

用三角形三边的关系可判断线段 AE 的取值范围是　　；则中线 AD 的取值范围是

；

（2）问题解决：

如图②，在△ABC 中，D是BC 边的中点，DE⊥DF 于点 D，DE 交AB 于点 E，DF 交

AC 于点 F，连接 EF，此时：BE+CF　　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形 ABCD 中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以 C为顶点

作∠ECF＝70°，边 CE，CF 分别交 AB，AD 于E，F两点，连接 EF，此时：BE+DF

EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；

（4）若在图③的四边形 ABCD 中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝

CD ，且（ 3）中的结论仍然成立，则 ∠ BCD ＝　　（用含 α的代数式表示） .

【类型二：四边形中的互补模型】

【典例 2】（1）如图 1，四边形 ABCD 是边长为 5 cm 的正方形，E，F分别在 AD，CD 边

上，∠EBF＝45°．为了求出△DEF 的周长．小南同学的探究方法是：

如图 2，延长 EA 到H，使 AH ＝CF ，连接 BH ，先证 △ ABH≌△CBF ，再证

△EBH≌△EBF，得 EF＝EH，从而得到△DEF 的周长＝　　 cm；

（2）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F

分别是线段 BC，CD 上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段 EF，BE，FD 之间的数量

关系；

（3）如图 4，若在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是线段

BC，CD 上的点，且 2∠EAF＝∠BAD，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，

若不成立，请说明理由；

（4）若在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点 E、F分别在 CB、DC 的延

长线上，且 2∠EAF＝∠BAD，请画出图形，并直接写出线段 EF、BE、FD 之间的数量

关系．

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