《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项08 对角互补模型综合应用（解析版）

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专项 08 对角互补模型综合应用

应用：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。

【类型一：三角形中的互补模型模型】

【典例 1】（1）如图（1），在△ABC 中，D是BC 边上的中点，DE⊥DF，DE 交AB 于点

E，DF 交AC 于点 F，连接 EF．若∠A＝90°，探索线段 BE、CF、EF 之间的数量关系，

并加以证明；

（2）如图（2），在四边形 ABDC 中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以

D为顶点作一个 60°角，角的两边分别交 AB、AC 于E、F两点，连接 EF，探索线段

BE、CF、EF 之间的数量关系，并加以证明．

【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2，

理由如下：如图（1）延长 ED 到G，使 DG＝ED，连接 CG，FG，

在△DCG 与△DBE 中，

，

∴△DCG≌△DBE（SAS），

∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，

又∵DE⊥DF，

∴FD 垂直平分线段 EG，

∴FG＝FE，

∵∠A＝90°，

∴∠B+∠ACB＝90°，

∴∠FCG＝90°，

在△CFG 中，CG2+CF2＝FG2，

∴EF2＝BE2+CF2；

（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC，

理由如下：延长 AB 到M，使 BM＝CF，

∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，

∴∠MBD＝∠C，

在△BDM 和△CDF 中，

，

∴△BDM≌△CDF（SAS），

∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，

∴ ∠ EDM ＝ ∠ EDB+∠BDM ＝ ∠ EDB+∠CDF ＝ ∠ CDB﹣∠EDF ＝120° 60°﹣＝60° ＝

∠EDF，

在△DEM 和△DEF 中，

，

∴△DEM≌△DEF（SAS），

∴EF＝EM，

∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．

【变式 1】（1）阅读理解：

如图①，在△ABC 中，若 AB＝5，AC＝3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：

延长 AD 到点 E使DE＝AD，再连接 BE，这样就把 AB，AC，2AD 集中在△ABE 中，利

用三角形三边的关系可判断线段 AE 的取值范围是　　；则中线 AD 的取值范围是

；

（2）问题解决：

如图②，在△ABC 中，D是BC 边的中点，DE⊥DF 于点 D，DE 交AB 于点 E，DF 交

AC 于点 F，连接 EF，此时：BE+CF　　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形 ABCD 中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以 C为顶点

作∠ECF＝70°，边 CE，CF 分别交 AB，AD 于E，F两点，连接 EF，此时：BE+DF

EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；

（4）若在图③的四边形 ABCD 中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝

CD ，且（ 3）中的结论仍然成立，则 ∠ BCD ＝　　（用含 α的代数式表示） .

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