《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项07 半角模型综合应用（解析版）

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专项 07 半角模型综合应用

模型一等角=要三角形中得半角模型

模型二正方形中的半角模型

应用：①利用旋转构造全等三角形；

②利用翻折构造全等三角形。

【类型一：等腰三角形中的半角模型】

【典例 1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的

条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α，点

D、E在边 BC 上，且．

（1）如图 a，当 α＝60°时，将△AEC 绕点 A顺时针旋转 60°到△AFB 的位置，连结

DF．

①∠DAF＝　　；②求证：DF＝DE；

（2）如图 b，当 α＝90°时，猜想 BD、DE、CE 的数量关系，并说明理由．

【解答】（1）①解：由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°，

∵∠DAE＝α，∠BAC＝α＝60°，

∴∠DAE＝×60°＝30°，

∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，

∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°，

故答案为：30°；

②证明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°，

∵AB＝AC，

∴△DAF≌△DAE（SAS），

∴DF＝DE；

（2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下：

如图，

将△AEC 绕点 A顺时针旋转 90°到△AFB 的位置，连结 DF，

∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC，

∴∠BAF＝∠CAE，

∴△BAF≌△CAE（SAS），

∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE，

在Rt△ABC 中，∠C＝∠ABC＝45°，

∴∠ABF＝45°，

∴∠DBF＝90°，根据勾股定理得，DF2＝BD2+BF2，

∴DF2＝BD2+CE2，

同（1）②的方法得，DF＝DE，

∴DE2＝BD2+CE2．

【变式 1】已知∠MBN＝60°，等边△BEF 与∠MBN 顶点 B重合，将等边△BEF 绕顶点 B

顺时针旋转，边 EF 所在直线与∠MBN 的BN 边相交于点 C，并在 BM 边上截取 AB＝

BC，连接 AE．

（1）将等边△BEF 旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；

（2）将等边△BEF 顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出 AE，BE，CE

之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，若 BF＝4，AE＝1，则 CE＝　 3

或

5 　．

【解答】（1）证明：∵△BEF 为等边三角形，

∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，

∴∠EBA+∠ABF＝60°，

∵∠MBN＝60°，

∴∠CBF+∠ABF＝60°，

∴∠EBA＝∠CBF，

在△ABE 与△CBF 中，

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