《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项06 手拉手综合应用（解析版）

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专项 06 手拉手综合应用

应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；

②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。

【类型一：等边三角形中的手拉手模型】

【典例 1】阅读与理解：如图 1，等边△BDE 按如图所示方式设置．

操作与证明：

（1）操作：固定等边△ABC ，将△BDE 绕点 B按逆时针方向旋转 120° ，连接

AD，CE，如图 2；在图 2中，请直接写出线段 CE 与AD 之间具有怎样的大小关系．

（2）操作：若将图 1中的△BDE，绕点 B按逆时针方向旋转任意一个角度 α（60°＜α＜

180°），连接 AD，CE，AD 与CE 相交于点 M，连 BM，如图 3；在图 3中线段 CE 与

AD 之间具有怎样的大小关系？∠EMD 的度数是多少？证明你的结论．

猜想与发现：

（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB 的度数大小是否会随着变

化而变化？请证明你的结论．

【解答】解：（1）EC＝AD；

∵将△BDE 绕点 B按逆时针方向旋转 120°，

∴∠ABD＝∠CBE，

在△EBC 和△DBA 中，

，

∴△EBC≌△DBA（SAS），

∴EC＝AD；

（2）EC＝AD，∠EMD＝60°，理由如下：

设AD 与BE 交于点 O，

∵将△BDE 绕点 B按逆时针方向旋转 α度，

∴∠EBC＝∠DBA＝α，

∵△ABC 与△BDE 是等边三角形，

∴BC＝AB，BD＝BE，

∴△EBC≌△DBA（SAS），

∴EC＝AD，∠CEB＝∠ADB，

∵∠EOM＝∠DOB，

∴∠EMD＝∠EBD＝60°，

（3）不变，理由如下：

过点 B作BH⊥AD 于点 H，BF⊥EC 于点 F，

∵△EBC≌△DBA，

∴S△EBC＝S△DBA，AD＝EC，

∴BH＝BF，

∴MB 平分∠DMC，

∴∠DMB＝，

∴∠DMB 的度数大小不变

【变式 1-1】如图，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，且 B，C，D三点在一条直线上，连

接AD，BE 相交于点 P．

（1）求证：BE＝AD．

（2）求∠APB 的度数．

【解答】（1）证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，

∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，

即∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE．

（2）解：由（1）可得△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠DAC＝∠EBC．

∵∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝60°，

∴∠EBC+∠ADC＝∠APB＝60°，

即∠APB＝60°．

【变式 1-2】（1）问题发现：如图①，△ABC 和△EDC 都是等边三角形，点 B、D、E在

同一条直线上，连接 AE．

①∠AEC 的度数为　　；

②线段 AE、BD 之间的数量关系为　　；

（2）拓展探究：如图②，△ABC 和△EDC 都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝

90°，点 B、D、E在同一条直线上，CM 为△EDC 中DE 边上的高，连接 AE，试求

∠AEB 的度数及判断线段 CM、AE、BM 之间的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题：如图③，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝36°，

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