《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题25函数与正方形存在性问题（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 25 函数与正方形存在性问题

【例 1】（2022•崂山区一模）如图，正方形 ABCD，AB＝4cm，点 P在线段 BC 的延长线上．点 P从点 C

出发，沿 BC 方向运动，速度为 2cm/s；点 Q从点 A同时出发，沿 AB 方向运动，速度为 1cm/s．连接

PQ，PQ 分别与 BD，CD 相交于点 E，F．设运动时间为 t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）线段 CF 长为多少时，点 F为线段 PQ 中点？

（2）当 t为何值时，点 E在对角线 BD 中点上？

解题策略

经典例题

（3）当 PQ 中点在∠DCP 平分线上时，求 t的值；

（4）设四边形 BCFE 的面积为 S（cm2），求 S与t的函数关系式．

【例 2】（2022 春•孟村县期末）如图，在平面直角坐标系中．直线 l：y＝﹣2x+10 （k≠0 ）经过点

C（3，4），与 x轴，y轴分别交于点 A，B，点 D的坐标为（8，4），连接 OD，交直线 l于点 M，连接

OC，CD，AD．

（1）填空：点 A的坐标为　　，点 M的坐标为　　；

（2）求证：四边形 OADC 是菱形；

（3）直线 AP：y＝﹣x+5 与y轴交于点 P．

①连接 MP，则 MP 的长为　　；

②已知点 E在直线 AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点 F，使以 O，A，E，F为顶点的四边形是

正方形？若存在，请直接写出点 F的坐标；若不存在，请说明理由．

【例 3】（2022•市中区二模）如图，直线 AC 与双曲线 y＝（k≠0）交于 A（m，6），B（3，n）两点，与

x轴交于点 C，直线 AD 与x轴交于点 D（﹣11，0），

（1）请直接写出 m，n的值；

（2）若点 E在x轴上，若点 F在y轴上，求 AF+EF+BE 的最小值；

（3）P是直线 AD 上一点，Q是双曲线上一点，是否存在点 P，Q，使得四边形 ACQP 是正方形？若存

在，求出点 P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【例 4】（2022 春•渝中区校级月考）如图，抛物线 y＝ax2+bx 3﹣（a≠0）与 x轴交于 A、B（点 A在点 B的

左侧），其中 OA＝1，tan∠ABC＝．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图 1，点 P是直线 BC 下方抛物线上一点，过点 P作PQ∥AC 交BC 于Q，PH∥x轴交 BC 于H，

求△PQH 周长最大值及此时点 P的坐标；

（3）如图 2，将抛物线 y水平向右平移 1个单位得到新抛物线 y′，点 G为新抛物线 y′对称轴上一点，将

线段 AC 沿着直线 BC 平移，平移后的线段记为 A1C1，点 K是平面内任意一点，在线段平移的过程中，

是否存在以 A1、C1、G、K为顶点且 A1G为边的正方形？若存在，请直接写出点 K的坐标；若不存在，

请说明理由．

一．解答题

培优训练

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