《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题25函数与正方形存在性问题（解析版）

3.0 cande 2025-05-17 14 4 1.9MB 86 页 3知币

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 25 函数与正方形存在性问题

【例 1】（2022•崂山区一模）如图，正方形 ABCD，AB＝4cm，点 P在线段 BC 的延长线上．点 P从点 C

出发，沿 BC 方向运动，速度为 2cm/s；点 Q从点 A同时出发，沿 AB 方向运动，速度为 1cm/s．连接

PQ，PQ 分别与 BD，CD 相交于点 E，F．设运动时间为 t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）线段 CF 长为多少时，点 F为线段 PQ 中点？

（2）当 t为何值时，点 E在对角线 BD 中点上？

解题策略

经典例题

（3）当 PQ 中点在∠DCP 平分线上时，求 t的值；

（4）设四边形 BCFE 的面积为 S（cm2），求 S与t的函数关系式．

【分析】（1）可得出 C点是 BP 的中点，从而求得 t＝2；

（2）证明 DEF≌△BEQ，从而得出 DF＝BQ＝4﹣t，进而 CF＝CD﹣DF＝t，证明△PCF∽△PBQ，从

而得出，进而求得 t；

（3）作 OG⊥BP 于G，可根据 OG＝CG，进一步求得结果；

（4）根据△PCF∽△PBQ，△DOF∽△BOG，分别列出比例式表示出 CF，DF 及EH，进一步求得结果．

【解答】解：由题意得，

CP＝2t，AQ＝t，BQ＝4﹣t，

（1）四边形 ABCD 是正方形，

∴CD∥AB，

∴ ＝1，

∴PC＝BC＝4，

∴t＝＝2s；

（2）∵AB∥CD，

∴∠QBE＝∠EDF，∠BQE＝∠DFE，△PCF∽△PBQ，

∴ ，

∵点 E是BD 的中点，

∴BE＝DE，

∴△DEF≌△BEQ（AAS），

∴DF＝BQ＝4﹣t，

∴CF＝CD﹣DF＝t，

∴ ，

∴t1＝1，t2＝0（舍去），

（3）如图 1，

点O是PQ 的中点，CO 平分∠DCP，

作OG⊥BP 于G，

同理得：OG＝，PG＝，

∴CG＝PC﹣PG＝2t﹣（2+t）＝t2﹣，

∵∠COG＝∠OCG＝＝45°，

∴OG＝CG，

∴ ，

∴t＝；

（4）如图 2，

过点 E作GH∥BC，交 AB 于G，交 CD 于H，

∵CF∥EG∥AB，

∴△PCF∽△PBQ，△DEF∽△BEG，

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