《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题24函数与菱形存在性问题（原卷版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 24 函数与菱形存在性问题

我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是

①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边

形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.

在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.

二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方

法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定

两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两

动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直

线或者抛物线上.

【例 1】（2022 春•锡山区校级期中）如图，在矩形 ABCD 中，BD 是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点 E

从点 D出发，沿 DA 方向匀速运动，速度是 2cm/s；点 F从点 B出发，沿 BD 方向匀速运动，速度是

1cm/s，MN 是过点 F的直线，分别交 AB、BC 于点 M、N，且在运动过程中始终保持 MN⊥BD．连接

EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为 t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题：

（1）求当 t为何值时，△EFD∽△ABD？

（2）求当 t为何值时，△EFD 为等腰三角形；

（3）将△EMN 沿直线 MN 进行翻折，形成的四边形能否是菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，请

说明理由．

【例 2】（2022 秋•南岸区校级期中）如图，点 A、B分别在 x轴和 y轴的正半轴上，以线段 AB 为边在第一

解题策略

经典例题

象限作等边△ABC，S△ABC＝，且 CA⊥x轴．

（1）若点 C在反比例函数 y＝（k≠0）的图象上，求该反比例函数的解析式；

（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点 N，使四边形 ABCN 是菱形，若存在请求出点 N坐标，

若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，取 OB 的中点 M，将线段 OM 沿着 y轴上下移动，线段 OM 的对应线段是

O1M1，直接写出四边形 CM1O1N周长的最小值．

【例 3】（2022 秋•龙华区期中）已知：在平面直角坐标系中，直线 l1：y＝﹣x+2 与x轴，y轴分别交于

A、B两点，直线 l2经过点 A，与 y轴交于点 C（0，﹣4）．

（1）求直线 l2的解析式；

（2）如图 1，点 P为直线 l1一个动点，若△PAC 的面积为 10 时，请求出点 P的坐标．

（3）如图 2，将△ABC 沿着 x轴平移，平移过程中的△ABC 记为△A1B1C1，请问在平面内是否存在点

D，使得以 A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 D的坐标．

【例 4】（2022 秋•博罗县期中）如图，抛物线 y＝﹣ x2+x+1 与y轴交于点 A，过点 A的直线与抛物线

交于另一点 B，过点 B作BC⊥x轴，垂足为点 C（3，0）．

（1）求直线 AB 的函数解析式．

（2）动点 P在线段 OC 上，从原点 O出发以每秒一个单位的速度向 C移动，过点 P作PN⊥x轴，交直

线AB 于点 M，交抛物线于点 N，设点 P移动的时间为 t秒，MN 的长为 s个单位，求 s与t的函数解析

式，并写出 t的取值范围．

（3）在（2）的条件下（不考虑点 P与点 O，C重合的情况），连接 CM，BN，当 t为何值时，四边形

BCMN 为平行四边形？对于所求的 t的值，平行四边形 BCMN 是否为菱形？若存在，请直接写出四边形

BCMN 为菱形时 t的值，若不能存在请说明理由．

一．解答题

1．（2022 秋•思明区校级期中）如图，正方形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x轴和 y轴上，顶点 B在第一象

限，AB＝6，点 E、F分别在边 AB 和射线 OB 上运动（E、F不与正方形的顶点重合），OF＝2BE，

设BE＝t．

（1）当 t＝2时，则 AE＝　　，BF＝　　；

（2）当点 F在线段 OB 上运动时，若△BEF 的面积为，求 t的值；

（3）在整个运动过程中，平面上是否存在一点 P，使得以 P、O、E、F为顶点，且以 OF 为边的四边形

是菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．

培优训练

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