《2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）》专题24函数与菱形存在性问题（解析版）

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【压轴必刷】2023 年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题 24 函数与菱形存在性问题

我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是

①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③邻边相等的平行四边

形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.

在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.

二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方

法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定

两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两

动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直

线或者抛物线上.

【例 1】（2022 春•锡山区校级期中）如图，在矩形 ABCD 中，BD 是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点 E

从点 D出发，沿 DA 方向匀速运动，速度是 2cm/s；点 F从点 B出发，沿 BD 方向匀速运动，速度是

1cm/s，MN 是过点 F的直线，分别交 AB、BC 于点 M、N，且在运动过程中始终保持 MN⊥BD．连接

EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为 t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题：

（1）求当 t为何值时，△EFD∽△ABD？

（2）求当 t为何值时，△EFD 为等腰三角形；

（3）将△EMN 沿直线 MN 进行翻折，形成的四边形能否是菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，请

说明理由．

解题策略

经典例题

【分析】（1）当△ABD∽△EFD 时，则，代入计算即可；

（2）分 ED＝EF，DE＝DF，FE＝FD 三种情形，分别画出图形，利用相似相似三角形的判定与性质可

得答案；

（3）当 EM＝EN 时，过点 E作EK⊥BC 于K，利用勾股定理分别表示出 EM 和EN 的长，从而得出方程

解决问题．

【解答】解：（1）由题意得：DE＝2tcm，BF＝tcm＜

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴∠BAD＝90°，

在Rt△ABD 中，BD＝＝＝10cm，

∴DF＝BD＝BF＝（10﹣t）cm，

当△ABD∽△EFD 时，

则，

即，

解得 t＝，

即当 t为时，△EFD∽△ABD；

（2）①当ED＝EF 时，过点 E作EG⊥BF 于G，

∵ED＝EF，

∴△EFD 为等腰三角形，

又∴EG⊥DF，

∴DG＝DF＝（10﹣t）cm，

∵∠EDG＝∠BDA，∠EGD＝∠BAD＝90°，

∴△EGD∽△BAD，

∴ ，

即＝，

∴t＝；

②当EF＝FD 时，过点 F作FH⊥AD，

∵EF＝FD，

∴△EFD 为等腰三角形，

又∴FH⊥ED，

∴HD＝DE＝t（cm），

∵∠ADB＝∠HDF，∠BAD＝∠FHD，

∴△DHF∽△DAB，

即，

∴t＝＞3.6（舍去），

当DE＝DF 时，即 2t＝10﹣t，

解得：t＝，

综上，当 t＝或时，△EFD 为等腰三角形；

（4）假设存在符合题意的 t，则 EM＝EN，

过点 E作EK⊥BC 于K，

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